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Full text of "Leçons sur les fonctions discontinués"

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UNIVERSiTY 



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COLLECTION DK MuNOGRAFHlES SLR LA THÉORIE DES FONCTIONS 

PUBLIKE SOUS LA lURECTIOX DE M. ÉmiLE BOREL. 



lECO.NS 



LES FONCTIONS DISCONTINUES 

PROFESSÉES AU COLLÈGE DE FRANCE 



René BAIRE, 

M A î T K E D ETrsrïïTSTrrx ces 

A LA FACULTE DES 8CIEXCES DE MOJfTPELLlEf 



RÉDIGÉES 



A. DENJOY. 

LÈVE DK l'École normale supérieure. 




PAKIS 
GAUTHIER - VILLARS, IMPRIMEUR - LIBRAIRE 

Dl- BL»EAl DES LONGITUDES, DE l'kcoLK POLTTKrHNIQUE 
Quai des Grands-Augustins, 35 

1905 



LEÇONS 



SCR 



LES FONCTIONS DISCONTINUES. 



LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS. 



COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THEORIE DES FONCTIONS, 

PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M. EMILE BOREL. 



Leçons sur la théorie des fonctions [Éléments de la théorie des 

ensembles et applications), par M. Emile Borel, 1898 3 fr. 5o 

Leçons sur les fonctions entières, par M. Emile Borel, 1900 3 fr. 5o 

Leçons sur les séries divergentes, par M. Emile Borel, 1901 4 tV. 5o 

Leçons sur les séries à termes positifs, professées au Collège de 
France par M. Emile Borel et rédigées par M. Robert d'Adhémar, 
1 902 3 fr . 5o 

Leçons sur les fonctions méromorphes, professées au Collège de 

France par M. Emile Borel et rédigées par M. Ludovic Zoretti, 1903. 3 fr. 5o 

Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primi- 
tives, professées au Collège de France par M. Hk.nri Lebksgue, 1904. 3 fr. jo 

Leçons sur les fonctions de variables réelles et les dévelop- 
pements en séries de polynômes, professées à l'École Normale 
supérieure par M. Emile Borel, rédigées par M. Maurice Fréchet 
avec des Noies par M. Paul Painlevé et M. Henri Lebesgue, igoS... 4 fr. 5o 

sous presse : 
Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, par 

M. ErNST LlNDELiJF. 

EN PRÉPARATION : 

Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plu- 
sieurs variables complexes, par M. Pierre Cousin. 

Leçons sur les séries de polynômes à une variable complexe, par 
M. Emile Borel. 

Leçons sur les Correspondances entre variables réelles, par M. Jules 
Dracii. 

Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini, par 

M. Otto Blumenthal. 
Leçons sur les séries trigonométriques, par M. Henri Lebesgue. 



COLLECTION DE MOiNOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS 

PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M. ÉmILE BOREL. 



LEÇONS 



SUR 



LES FO>CTIONS DISCONTINUES 

PROFESSÉES AU COLLÈGE DE FRANCE 



PAR 



René iBAIRE, 



MAITRE DE CONFERENCES 
A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE MONTPELLIER. 



RÉDIGÉES 



A. DENJOY, 

ÉLÈVE DE l'école NORMALE SUPÉRIEURE. 




PARIS, 
GAUTHIER-VILLARS, IMPRLMEUK-LIBRAIRE 

DU BUREAU DES LONGITUDES. DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. 
Quai des Grands-Augustins, 55. 

1905 

(Tous Jroils reserfés.) 



MATH-STAT. 



ai ^1 M 



sna . v.^ 



QAzSi 



JAATIL- 

STAT. 

UgRARY 



PRÉFACE. 



Si Ton jette un coup d'oeil sur le début d'un Cours d'Analyse 
classique, une chose ne manquera pas de frapper Tesprit. Les 
notions fondamentales sont présentées tout d'abord au moyen 
d'une définition extrêmement générale; puis, immédiatement 
après, des restrictions sont apportées à ces définitions, de manière 
à limiter le champ d'études, et c'est grâce à cette limitation qu'il 
est possible d'aller de l'avant et de construire les différentes 
théories qui constituent la science mathématique. 

Il est alors légitime de rechercher s'il n'est pas possible, en 
lemontant aux définitions premières, d'en tirer des conséquences 
intéressantes tout en leur conservant autant que possible leur 
généralité. On peut ainsi se proposer de constituer, à côté de 
l'Analyse courante, une autre branche de l'Analyse, qui, bien 
entendu, suivra de très loin la première, en tant que quantité de 
résultats acquis, mais qui, en revanche, aura l'avantage de fournir 
des énoncés plus complets. 

A cette partie des Mathématiques se rattachent les travaux, déjà 
nombreux, faits en ces quarante dernières années, sur les fonctions 
discontinues, les fonctions sans dérivées, les fonctions pourvues de 
dérivées de tous ordres, mais non développables en série de 
Taylor, l'intégration des fonctions les plus générales, la définition 
générale des courbes fermées dans le plan, etc. 

11 est bien remarquable d'ailleurs que l'Analyse courante ne 



M7SS798 



VI PRÉFACE. 

peul pas indéfiniment se passer des considérations qui font l'objet 
de la branche dont nous parlons. Les singularités de toutes sortes, 
les discontinuités, par exemple, s'introduisent d'elles-mêmes, 
qu'on le veuille ou non, dans des questions d'où le chercheur 
aurait souhaité les écarter. 

Cette assertion paraît d'ailleurs confirmée au point de vue histo- 
rique. Paul du Bois-Rejmond déclare, dans la préface de son 
ouvrage philosophique sur la Théorie des jonctions, que c'est 
« le besoin de voir clair dans les intégrales des équations différen- 
tielles du second ordre » qui l'a conduit à faire une étude appro- 
fondie de la notion même de fonction. M. Georg Cantor paraît, 
lui aussi, avoir été amené à ses belles conceptions sur la théorie 
des ensembles en cherchant à étendre certains résultats relatifs 
aux séries trigonométriques. 

Au point de vue des applications, il peut sembler prématuré de 
se demander si de telles considérations peuvent avoir quelque 
importance pratique. Cependant, il est bien permis de remarquer 
C[ue, dans l'interprétation mathématique des phénomènes naturels, 
on fait tour à tour, et en quelque sorte suivant les besoins de la 
cause, appel aux deux notions de continu et de discontinu. S'il est 
vrai par exemple qu'en Mécanique on suppose en général que les 
vitesses varient d'une manière continue, dans la théorie des chocs 
et des percussions, on raisonne comme si ces vitesses subissaient 
des variations brusques. Il ne s'agit que d'approximations, c'est 
entendu; mais on \oit que le discontinu, tout comme le continu, 
peut servir dans l'approximation. Certaines théories de Physique, 
de Chimie, de Minéralogie, ne sont pas sans présenter quelcjue 
analogie avec le discontinu mathématique. Dans tous les cas, en 
dépit du vieil adage heureusement démodé, rien ne permet d'af- 
firmer que (( la nature ne fait pas de sauts ». Dans ces conditions, 
le devoir du mathématicien n'est-il pas de commencer par étudier, 
in abstracto, les rapports de ces deux notions, continu et discon- 
linu, (jui, tout en s'opposanl l'une à l'autre, sont intimement liées 



PRÉFACE. VU 

entre elles? C'est peut-être là le meilleur mojen de préparer 
l'avènement d'une Physique mathématique dans laquelle la part 
de rhypolhèse serait réduite au minimum. 

Le présent ouvrage, que M. Borel a bien voulu m'offrir de 
publier dans sa Collection de Monographies sur la Théorie des 
fonctions, contient la matière des leçons que j'ai professées 
en 1904 au Collège de France (Cours de la fondation Peccot) sur 
un sujet qui rentre dans l'ordre d'idées que je viens de définir. 

Le sujet et le plan du li\Te peuvent être définis en deux mots. 
Me proposant de rechercher toutes les fonctions discontinues 
représentables par des séries de fonctions continues, j'étudie en 
détail, à mesure qu'elles se présentent, toutes les notions et les 
théories qui me sont utiles pour donner la solution de ce pro- 
blème. 

Comme, suivant le principe adopté pour les livres déjà parus 
dans cette collection, je ne suppose connues du lecteur que les 
notions courantes (en y faisant rentrer les notions de dénombra- 
bilité et de puissance, étudiées à fond dans les Leçons sur la 
théorie des /onctions, de M. Borel), je suis amené à traiter diffé- 
rentes théories relatives aux ensembles de points, en les reprenant 
au point de départ. J'étudie ainsi successivement les notions d'en- 
sembles fermés, parfaits, non denses, ensembles dérivés de tous 
les ordres. Il m'a paru avantageux, pour éclaircir ces diflerentes 
notions, d'insister plus particulièrement sur le cas des ensembles 
linéaires, pour lequel il est assez facile de présenter les choses 
d'une manière en quelque sorte visible. 

n m'est nécessaire d'introduire dans ces études la notion du 
transfini de M. G. Cantor. Cette notion, encore neuve en Mathé- 
matiques, a déjà prêté à des controverses philosophiques, sans 
doute parce que, présentée d'une certaine manière, elle parait 
entourée d'un caractère un peu mystérieux. Rappelons-nous que 
la même chose est arrivée jadis pour les imaginaires. Je crois fer- 
mement que, là comme ailleurs, il est aisé au mathématicien de se 



VIII PRÉFACE. 

placer sur un lorrain solide. C'est ce que j'essaie de montrer dans 
le Chapitre if, qui est entièrement consacré à cette théorie. 
L'exposition que j'ai adoptée est conforme, dans son plan général, 
à celle que M. G. Cantor a suivie dans ses dernières publications; 
mais je l'ai modifiée de manière à n'en conserver cjue ce qui m'est 
utile pour les applications que j'ai en vue, et d'autre part j'ai 
cherché à l'éclaircir au moyen d'exemples concrets. 

La publication de ces leçons m'a été considérablement facilitée 
par le concours que m'a apporté un de mes auditeurs, M. Denjoy, 
en se chargeant d'en elFectuer la rédaction. Je lui en adresse tous 
mes remcrcîments. 

Paris, le 22 septembre 1904. 



LEÇONS 



LES FONCTIONS DISCOMLMES. 



CHAPITRE I. 

PREMIÈRES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DISCONTINUES. 



I. — Exemples simples. 

1. Un des exemples les plus classiques de fonctions disconti- 
nues développables en séries de fonctions continues est fourni 
par certaines séries trigonométriques. Prenons comme point de 
départ l'égalité suivante : 

(i-) \o^{i^z = - — - — ^_...^(_,)«-i£! -+-..., 

12 3 n 

dont on établit, dans la théorie des fonctions analytiques, la vali- 
dité sous la condition que Ion ait : ' - j ^ i avec z-y^ — i . Dans ces 
conditions, le premier membre représente la détermination du 
logarithme qui. partant de la valeur o, pour :: = o, varie d'une 
façon continue, quand le point figuratif de ; se déplace d'une 
manière continue à 1 intérieur du cercle de convergence, et même 
sur ce cercle en é\itant le point z^ — i . 

Posons 

z = e'>, 

en supposant x réel et compris entre — - et -}-— (ces deux valeurs 
R. B. 1 



2 CHAPITRE I. 

étant exclues). On peut écrire 

z = cosa? -+- l'sina:. 

On a donc 

z"- = co?,nx H- isinna^. 

Le point figuratif de z prend toutes les positions possibles sur le 
cercle de convergence, sauf la position ;3 = — i . On a 

iog(j+z)=2^(-i)«+i 

D'autre part, on peut écrire 

X ( X . . x\ 

1 -i- 2 = 2C0S- I cos htsin- ,. 

•^ \ 1 1 ) 

Gomme x est compris entre — tz et -f- tz, cos - est positif. Donc, 

I -f- 5 a pour module i cos-, et pour argument ^ — h 2 k-. Donc, 

les diflerentes déterminations de log(i + z) sont comprises dans 
la formule 

lo<;(i -H z) = log réel de ( 'icos - ) -i- n — -+- 'i A-ti j, 

k étant un nombre entier. 

Cela posé, si nous égalons les coefficients de i dans les deux 
membres de l'équation (i), nous avons, toujours sous l'hypothèse : 

— 7Z<X<7I, 

X , ftinar sin2a' 

[-■xkT.= h- 

2 1-2 

En faisant .r = o, on reconnaît que A" = o. On a donc 
X sinx sin237 

^'') 2=^-i T--^--" 



sous la condition 

— t: < ,r < 71. 



Achevons l'étude de la fonction représentée par la série qui 
figure au second membre de (2). Tous les termes du second membre 
admettent la période 2 t. Cette série peut donc être considérée 
comme connue pour les valeurs de x comprises dans les inter- 



PREMIERES RECHERCHES SIR LES FOXCTIOXS DISCONTIXLES. 



valles 



et 



- < j" < 3 r, 



-->x> — îr, 



3- < jr < 5-, 



3r>j-> 



D-, 



11 reste à voir ce qu'est la série pour les valeurs de x égales à t:, 

St:, 5— — ~, — St, On reconnaît directement que la série 

a tous ses termes nuls pour ces valeurs. Nous constatons ainsi que 

la série > ( — i j""*"' est convergente quel que soit x, mais 

représente une fonction y(x) discontinue. Elle serait géomélrique- 

Fig. I. 

3 




ment représentée par une succession de segments de droites et de 
points isolés (fig. i /. 

2. Plaçons-nous maintenant à un point de vue différent. Don- 
nons-nous a priori une fonction discontinue /"(x), et cherchons 
à la représenter par une série dont tous les termes soient des fonc- 
tions continues de x. Je dis dabord qu'il revient au même de 

rechercher une suite de fonctions continues /^,, f^^ ..., /"«, , 

telles que, pour chaque valeur Xq de x^ on ait 

lim/„(a-o) =/(:ro). 



ce que nous exprimons en disant que la suite /i , /o» • • -j /ni • • -j a 
pour limite /. En effet, étant donnée une série à termes continus 
M, -f- Mo — -. . .-r- M/i-f-- • •- la somme Ui ^ Uy^- ---r- u„, qui est 
continue, a pour limite /: et réciproquement s'il existe une suite 
de fonctions continues /, , /o, . . ., /«, .... avant pour limite /, en 



4 ' CHAPITRE I. 

posant 

on a une série de fonctions continues dont la somme est /. 

Comme exemple, nous prendrons la fonction /{x) définie 
pour — i^^^i, égale à o pour toute valeur de x sauf pour la 
valeur o pour laquelle elle est égale à i. Soit n un nombre entier; 
nous définirons une fonction continue y,2 de la manière suivante : 

Pour 

— I < a; 1 ) 

n 

et pour 

'; iP ^ I , 



II 



fn = O. 

Pour x-=o. /"„ = I . Dans chacun des intervalles à o, et o à - , 

fn variera linéairement, c'est-à-dire que l'on aura 

f,i{x) — i^nx { £a7<o 

. fn{x)^i — nx (o^xiy)- 

La fonction y,2 ainsi définie est continue. Je dis que l'on a 

ynnfn(x) =/(.r), 

quel que soit x. En effet, distinguons deux cas : 

i" Supposons X = o. Dans ce cas, quel que soit n, f,i= i , c'est- 
à-dire y„ = /*; 2° Si X est différent de o, il j a un entier/?, te /que,, 
pour n >/>, on a 

n ' ' 

A partir de ce moment, on a 

et comme /(:c) = o, la propriété est encore vraie. 

3. Comparons les deux exemples étudiés. On voit que, par le 
second, l'existence de fonctions discontinues limites de fonctions 



PREyiÈRES RECHERCHES SDR LES FONCTIONS DISCOXTIXTES. 5 

conlînues est mise en évidence d'une façon beaucoup plus directe 
que par le premier. Il v a lieu d'appeler 1 attention à ce propos sur 
les deux manières différentes dont s'introduit la notion de fonction 
en mathématiques. 

Dans le premier exemple, on partait du procédé habituel qui 
consiste à définir un petit nombre de fonctions simples représentées 
par des notations conventionnelles et à considérer les fonctions qui 
s'obtiennent par combinaisons de ces premières fonctions. 

Dans le second exemple, on n'a imposé aucune restriction à la 
notion de fonction. On s'est attaché seulement à ce que les fonc- 
tions que l'on considère soient définies pour chaque valeur de x, 
le procédé de définition pouvant être choisi d'une manière com- 
plètement arbitraire. 

D'autre part, l'exemple de la série 

montre que, même en se plaçant au piemier point de vue, il arrive 
un moment où l'on se trouve nécessairement conduit à introduire 
des fonctions présentant des singularités. Cela arrive en particu- 
lier quand on considère des séries, c'est-à-dire quand on introduit 
la notion de limite. 

4. La méthode employée pour le second exemple peut s'appli- 
quer à une fonction quelconque présentant une seule discontinuité. 
Soit en effet y (x) une fonction définie pour a^x^b, et qui soit 
continue en tout point de cet intervalle, sauf pour la valeur x = c. 
Considérons un intersalle (c — a..,, c-i-aL„), a^ étant un nombre 
positif qui tendra vers o quand n croîtra indéfiniment. Nous défini- 
rons y« comme il suit : /„ sera égale à y"pour toute valeur de x prise 
dans l'intervalle (a, b), en dehors de l'intervalle (c — x„, c-i-a„), 
et aussi pour x = c. Dans chacun des deux intervalles (c — a„. c) 
et ( c, c — x„). fa variera linéairement ^c pourrait être l'une des 
extrémités a ou 6, auquel cas on ne considérerait qu'une moitié de 
l'intervalle c — a,, à c -h ata). On reconnaît que la fonction /"„ ainsi 
définie est continue et tend vers f. 



CHAPITRE I. 



II. — Théorèmes fondamentaux sur les fonctions limites 
de fonctions continues. 

O. L'étude que nous nous proposons est celle des jonctions dis- 
continues qui sont limites de fonctions continues. 

Nous nous limiterons d'abord aux fonctions discontinues dépen- 
dant d'une seule vaiiable x., qui prendra toutes les valeurs d'un 
intervalle fini (a, 6); nous supposerons de plus ces fonctions 
bornées., c'est-à-dire comprises entre des limites finies. 

Transformons tout d'abord le problème de la construction d'une 
suite de fonctions continues tendant vers une fonction discon- 
tinue /(^r). 

Supposons que/* (^) soit limite d'une suite de fonctions conti- 
nues 

f\{x), f^{x), ..., /„(^), .... 

L'ensemble des valeurs des fonctions f^ifi^ • ■ -^ fn-, ■ • •■, peut être 
considéré comme fonction des deux variables x e\ n\ à la variable n, 
qui ne peut prendre que des valeurs entières, nous allons substituer 
une variable continue jy. Nous introduisons une fonction Y{x.,y) 
que nous assujettissons comme première condition à se réduire 

poury ^ oà/(.2:) etpourj)/- = - à f,i{x). Représentons géométri- 
quement les valeurs des deux variables :r ^,1 y [fig. 2); .r varie 

Fis. 2. 



y 










1 Ai B, 






A2 


Q, 




An 


Bn 











i 


\ 


B ■» 



entre a el b représentés par les points A et B; y prend toutes les 
valeurs de o à i. Nous mettons en évidence les droites A|B,, 

I 
> — } -. > ■ • • 1 
1 



AoBo, 



A„B,,, ... d'ordonnées i, •-» r? -zf 

" j 4 



PRElflÈRES RECHERCHES SUR LES FOXCTIOXS DISCOXTIXCES. 7 

Par définition, la fonction F(x,y) doit être égale, sur le segment 
AB, kf{x), sur le segment A^Bn. k/„(x). 

Je dis que Ton pourra construire la fonction F(x, ») en l'assu- 
jettissant en outre à être continue par rapport à l'ensemble des 
deux variables dans tout le rectangle ABA, B,, sauf sur AB. 

11 nous suffira de prendre la loi suivante. Sur une parallèle quel- 
conque à Or, x^Xq. entre deux valeurs consécutives de >' de la 

forme — » la fonction variera /i/iéaire/»ie/if par rapport kr: on aura 

donc, pour ^ -»< - - 

^ «^ I — — n 



f"(*.r) = 2r-+- 



fi 



a et ^ étant fonctions de x seul ; ces fonctions sont déterminées par 
les conditions 

/n{:r) ^l-% /'«-•'»= ,7^- 3- 

d'où résuite, pour < y< -, 

^ n -^ i —"^ — n 

( I I V(jr.y . = «(«-,) ^Çy _ —L- )f,,ix) - ( ~ -,>')/„+, (:r)j . 

F est ainsi définie dans tout le rectangle ABA,B,. Je dis que cette 
fonction satisfait à la condition de continuité. Pour un point dont 

l'ordonnée n'est pas de la forme -, l'expression (i) de la fonction 

montre sa continuité. Pour un point situé sur un segment A„ B„, on 
voit que F(x, y) revêt de part et d'autre de ce segment deux 
expressions différentes, toutes deux continues, et prenant toutes 
les deux sur ce segment les mêmes valeurs : la fonction F est donc 
continue par rapport à l'ensemble (x, y) en chaque point du 
segment, et. par suite, en tout point du rectangle ABA, B,, sauf 
peut-être sur le segment AB. 

Enfin, en tX)ut point M</e AB, la fonction F (a;, y') est continue 
par rapport à r. Il faut montrer que, pour un point variable 
d abscisse fixe Xo et d'ordonnée y\ positive et tendant vers zéro, 
la valeur correspondante de la fonction tend vers F(j:"o- o »=/(xoV 

Soient en effet M,, M^. M«, ... (^gr, 3) les points d'abscissex» 

situés sur les segments y = - • Notre hypothèse première est 



8 CHAPITRE I. 

que la suite fi.fi, ••., /«, ••• a pour limite /. Autrement dit 
F (^05-) tend vers /(^o) quand n croît indéfiniment. Or, étant 
donné un point M' d'abscisse y tendant vers zéro d'une façon 
quelconque, il existe un nombre entier /? et un seul, tel que 



et, quand y tend vers o, n croît indéfiniment. 

La fonction variant linéairement par rapport à y quand x est 

fixe, la valeur pour jk' est comprise entre les valeurs pour jk = ^^If^^ 

etjK=-- Comme F (x,) 5——) ^^^' \^o-> 'Ji) tendent vers /(^Tq), 

F(^oj y') tend aussi vers/(.2;o), c'est-à-dire vers ¥{xoi o). 

Il y a donc continuité en tout point M de AB par rapport ky. 

Fis. 3. 



!f 


A 


1 


U 


1 B, 






Aj 


M, 


B2 




An 


Wn 


B„ 








■ 





^ 


\ 


^ 


1 


3 ■» 



Réciproquement, supposons que l'on connaisse une fonc- 
tion F {x^y) telle que, x variant dans un certain intervalle repré- 
senté par AB, ety de o à y,, la fonction considérée soit partout 
continue par rapport à [x, y), sauf aux points de Ox, où elle est 
seulement continue par rapport à y. Je dis que la fonction 
y*(^) = F(:r, o), qui peut être une fonction discontinue, est limite 
de fonctions continues. 

Prenons en effet une suite de valeurs jk<, ...,yni •••■, décrois- 
santes et tendant vers o. Considérons les parallèles à Ox d'or- 
jdonnéeyi, ...,y„, .... P<^)sons 

D'après nos hypothèses, /„ est continue. De plus, si l'on consi- 
dère une parallèle à Oy, x =■ x^^ d'après la continuité par rapport 



PREMIERES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DISCOXTIXCES. 9 

à ^ au point (xp, o), la suite des nombres F(aro, yi}-; •••■. 
¥{xo, yn), ... a pour limite F(j:,, o;, cest-à-dire que/, (xq), .. ., 
/«(^o)î .-. a pour limite /(xo). 

Ceci ayant lieu quel que soit Xq, f{-x:) est la limite des fonc- 
tions continues/),. 

On pourrait généraliser ceci en remplaçant Ox par une courbe. 
Par exemple, supposons une fonction définie dans un cercle de 
rayon R et sur son contour (^fig- 4% celte fonction étant continue 
pour tout point intérieur, et jouissant sur le contour de la pro- 
priété suivante : la \aleur de la fonction en un point M' mobile 
sur le rayon OM tend vers la valeur en M quand M' tend vers M 




(continuité suivant la normale). Prenons, pour coordonnées d'un 
point, son argument «i» et sa distance /• à l'origine. Pour r<; R, 
F(/-, •!/) est continue par rapport à (r, •!): pour r= R, F(/\'i/o ) est 
continue par rapport à /*. Considérons des cercles concentriques 
de rayons r, , r-^, — /•„, ... tendant en croissant vers R. Il est aisé 
de montrer que la suite des fonctions de 'l : F{r„j «i) a pour 
limite F(R, -i). 

En résumé, ta recherche d'une suite de fondions continues 
ayant pour limite une fonction f{x^ définie sur le segment AB. 
est absolument équivalente à celle d'une fonction F(x. r) se 
réduisant à /(x) pour i- = o, continue par rapport à l'en- 
semble des deux variables (x, y) dans le rectangle ABA,B, 
sauf sur AB, et enfin continue par rapport à y en tout point 
de AB. 

Appelons problème (A) la recherche d'une telle fonction 
F(x,y) pour une fonction donnée /(x), et faisons quelques 
remarques sur ce problème. 

Si l'on en connaît une solution F,,, on peut en déduire d'autres. 
Il suffit d'ajouter à Fq une fonction s (^x^y) continue en tout point 



CHAPITRE 



du rectangle (j compris les points de AB) par rapport à l'en- 
semble (^, y) et se réduisant à o sur AB. 

Si le problème posé pour la fonction /(x) admet une solution 
F(^, jk), on pourra en donner une autre F,, telle que F, prenne 
sur le contour du rectangle des valeurs données à l'avance. En 
effet, je prends un point G intérieur au rectangle {/ig. 5), je le 
joins à A et à B par des droites. Dans le triangle ACB, je définis F, 

Fi;;. 5. 




comme identique à F, et je relie les valeurs assignées sur le 
contour AA)B,B aux valeurs données sur ACB par une fonction 
continue. 

Plus généralement, on peut se donner à l'avance les valeurs de 
F, sur une courbe joignant A à B et intérieure au rectangle. 



6. Étant donnée la fonction f (x) définie sur le segment AB 
{^fig. ()), supposons qiûil existe un point G entre A et B, tel que 
la fonction f{x) soit, sur chacun des segments AG et GB, 



I-iK. 0. 



.y 


; 


\^ C 


, f 


il 





— 


V C 


^ £ 


3 '^ 



limite de fonctions continues ; je dis que la fonction, consi- 
dérée sur le segment entier AB, est limite de fonctions conti- 
nues. 

Tout revient à définir F dans les conditions du problème (A). 

Je me donne a priori les valeurs de F sur GG, ; je peux, 
d'après les hypothèses, achever la définition de F dans AGA, G, et 
GBG,B, , de manière que les conditions du problème (A) soient 



PREMIERES RECHERCHES SCR LES FONCTIONS DISCONTIXUES. II 

remplies dans chacun de ces rectangles: elles sont alors remplies 
dans le rectangle total. 

Le théorème s'étend au cas d'un nombre fini quelconque de 
segments partiels, c'est-à-dire que : 

Etant donnée une fonction f{x) définie sur AB, si AB est 
décomposé en un nombre fini de segments, sur chacun desquels 
f est limite de fonctions continues, la propriété est vraie sur le 
segment total. 

On en déduit, en tenant compte du résultat du n° 4, (\\x'une 
fonction présentant un nombre fini de discontinuités est limite 
de fonctions continues. 

7. Nous allons étendre ce résultat à des fonctions plus compli- 
quées; prenons d'abord l'exemple suivant où la fonction consi- 
dérée possède une infinité de discontinuités. 

Imaginons une fonction définie en tout point du segment 
(o,i) de la façon suivante : i** elle est égale partout à o sauf aux 

points I ,-...•,->.-•» o ; 2° en tous ces derniers points, sa valeur 
est I. 

Cette fonction peut-elle être représentée comme limite de fonc- 
tions continues? Le théorème suivant va nous répondre affirmati- 
vement. Observons d'abord que. si C est un point intérieur à AB 
[AB étant le segment (o. i)], le nombre des points de discontinuité 
situés sur le segment CB est toujours ^/i/, et, par suite, sur CB, la 
fonction est limite de fonctions continues. 

Étant donnée une fonction f définie sur un segment AB, 
{fig- 7) sij quelque soit le point C intérieur à AB, la fonction, 





Fi?. 7- 




A 


1 


6, 






^ 




jy^ 





Cn Cj Cl B 



considérée sur CB, est limite de fonctions continues, elle est 
aussi, considérée sur AB, limite de fonctions continues. 



12 CHAPITRE r. 

En effet, considérons une série de points C|, C2, ..., C«, ..., 
tendant vers A, chacun d'eux étant à gauche du précédent. Menons 
AB, et marquons les points C, , Cl, ..., C,',, ..., dont les projec- 
tions sur AB sont C,, Cj, . . ., G„, Nous allons définir, dans le 

rectangle ABB,A,, une fonction V(x,y) qui remplira les con- 
ditions du problème (A) relativement à la fonction f{x). Je me 
donne d'abord une fonction continue par rapport à {x^ y) en tout 
point du triangle AA, Bj, et ayant en A la valeur/(A). 

Je définis ensuite F dans le trapèze C| C, BB,, F se trouvant déjà 
définie sur C, B et sur C, B, ; cela est possible en vertu de l'hjpo- 
ihèse que/, sur C| B, est limite de fonctions continues. 

Je définis ensuite F dans le trapèze C2CIG1C', , F étant défi- 
nie déjà sur GoC,, C, G, et G^G,. Je définis successivement F 
dans tous les trapèzes analogues, de bases G| Go, G2G3, .... 

L'opération étant supposée répétée indéfiniment, F se trouve 
définie en tout point du rectangle A.V, BB, . De plus, la fonction F 
est continue en tout point du rectangle, sauf peut-être sur AB. 
Par rapport ày, elle est continue, en tout point de AB autre que A, 
d'après la construction, et elle l'est aussi en A, d'après la défini- 
tion donnée de F dans le triangle AB, A,. La fonction F résout 
donc le problème posé. 

8. En combinant les résultats des théorèmes qui viennent d'être 
établis (n"* 6 et 7), on a la proposition suivante : 

THÉoiiiîME L — f{x) étant une fonction définie sur le seg- 
ment AB, sHl existe un nombre fini de points tels que, dans 
une portion quelconque de AB ne contenant aucun de ces 
points, f est limite de fonctions continues, la fonction est 
aussi limite de fondions continues sur tout le segment AB. 

En effet, soient G|, G2, ..., C,i {fg. 8) les points dont il est 

Fis. 8. 

A C, Cn B 

I — I 1 — i- 



D^ Da Dnn 



parlé dans l'énoncé; entre A, G,, G2, ..., G«, B, intercalons 
des points D,, D2, ..., D/,^.,. AB est décomposé en un nombre 
fini de segments AD,, D,G|, G1D2, ..., D^^^, B. Sur chacun de 



PREMIÈRES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DISCOXTIXCES. l'i 

ces segments, nous sommes dans les conditions du théorème pré- 
cédent, le rôle du point B de ce théorème étant joué ici par un des 
points D. Sur chacun de ces segments, y est donc limite de fonc- 
tions continues. Comme ils sont en nombre fini, / est, sur AB, 
limite de fonctions continues. 



111. — Notions sur les ensembles de points et applications. 

9. Pour appliquer ce théorème, nous allons introduire quelques 
notions sur la théorie des ensembles^ 

Point limite. — Considérons un ensemble de points P sur un 
segment de droite AB. On dit que M est un point limite de l'en- 
semble P, si tout segment contenant M à son intérieur contient un 
point de P autre que M. 

Sous une forme plus brève, dans le voisinage de M il j a tou- 
jours un point de P autre que M. 

Remarquons que si un point M (appartenant ou non à P) est 
point limite d'un ensemble P, dans tout intervalle comprenant M à 
son intérieur il y a une infinité de points de P. Car, s'il nV avait 
qu'un nombre fini de points de P autres que M dans un tel inter- 
valle, l'un de ces points serait plus rapproché de M que les autres; 
soit o sa distance à M. Ln intervalle contenant M à son intérieur 
et dont la longueur serait inférieure à o, ne contiendrait aucun 
point de P autre que M, et. en vertu de la définition donnée plus 
haut, M ne serait pas un point limite. 

La réciproque est d'ailleurs évidente. La définition donnée 
équivaut donc à la suivante : un point M est point limite de P 
si, à l'intérieur de tout segment contenante! à son intérieur, il v 
a une infinité de points de P. 

Ensemble dérivé. — Etant donné un ensemble de points de P, 
on appelle ensemble dérivé de P l'ensemble des points limites 
de P. 

Nous le désignerons par P* . 

Ensembles Jermés. — On dit qu'un ensemble de points est 



I4 CIIAPITUli I. 

fermé, s'il contient tous ses points limites, c'est-à-dire si tout 
point qui est limite pour l'ensemble en fait partie. 

Considérons, par exemple, l'ensemble des points d'abscisses -, 

-,•••,.•• et l'ensemble contenant ces mêmes points et, en 

4 -x"- ^ ' 

plus, le point zéro. Ils possèdent tous deux le point zéro pour point 
limite, et celui-là seulement. Donc, le second ensemble est fermé, 
le premier ne l'est pas. 

10. Etant donné un. ensemble quelconque P, l'ensemble dé- 
rivé P' est fermé. 

Autrement dit, l'ensemble P' contient tous ses points limites. 

Fit;. (). 



M' 



Soit M un point limite pour P' {fig. 9). Je dis qu'il est limite 
pour P. En ellet, dans tout intervalle M'M" contenant M à son 
intérieur, il y a une infinité de points de P'. Choisissons-en un 
intérieur à M'M". Ce point étant limite pour P, il existe une 
infinité de points de P dans l'intervalle M'iM". Donc : M est un 
point limite de P. 

Etant donné un ensemble P, réparti sur un segment fini iSB^ 
si l'ensemble P contient une infinité de points, cet ensemble a 
au moins un point limite. 

En eflet, soit C le milieu de AB {fig. to); l'une des deux por- 



c, 



tions AC, CB contiendra une infinité de points de P. Ce sera AC 
par exemple. J'opère sur AC comme sur AB. J'obtiens un nouveau 
segment, C, C par exemple, qui contient une infinité de points 
de P, et de longueur '— ; j'opère sur C, C de la même manière, et 
amsi de suite. J'obtiens ainsi un segment variable, contenant tou- 
jours une infinité de points de P, dont l'extrémité gauche ne rétro- 
grade jamais vers A, celle de droite ne se rapproche jamais de B. 



PREMIÈRES RECHERCHES SIR LES FONCTIONS DISCOXTI>XES. l5 

Sa longueur tend vers o. Les deux extrémités tendent donc vers 
une même position limite. D'après la façon dont ce point est défini, 
ce sera un point limite pour l'ensemble P, car tout segment con- 
tenant ce point à son intérieur contient une infinité de points de 
Tensemble. 

Nous déduisons de ce théorème la conséquence suivante : 

Etant donné un ensemble P réparti sur le segment AB. si une 
portion a,3 du segment ne contient aucun point du dérivé P', il 
n y a sur cet intervalle a^ qu'un nombre fini de points de P; car, 
si -xp contenait une infinité de points de P. il contiendrait un point 
limité de P, qui appartiendrait à P*. 

Nous exprimerons le fait qu'il n'y a dans a^ aucun point de P' 
en disant que, dans a3, on a 

P' = c. 

A l'aide de ces notions, nous pouvons démontrer le théorème 
suivant : 

Si V ensemble P des points de discontinuité de 'f(x) est tel 
que son dérivé P' contient un nombre fini de points, f{x) est 
limite de fonctions continues. 

En effet, soient M,, M2. ..., M«, les points de P'. Appliquons 
le théorème I : dans tout segment ne contenant aucun des points 
M,, Mo. . . . , M;i, nous n'avons qu'un nombre fini de points de P, 
c'est-à-dire de discontinuités pour y; dans un tel segment, y est 
limite de fonctions continues ( n" 6). Donc, dans AB, par applica- 
tion du théorème I, / est limite de fonctions continues. 

Considérons, par exemple, l'ensemble P composé : i" des points 

d abscisses -» 7» ••' —•> •■■ qui ont pour point limite o: 1'* des 

-.11111,1 I I 

points --T--'- — ~'â^8'"'"'-I — ~i'' " ' ^"' ^^^ pour point 

limite -• On voit que P' se compose des points o et i- D'après le 

théorème précédent, la fonction partout égale à o, sauf aux points 
de l'ensemble P, où elle est égale à i , est limite de fonctions con- 
tinues. 



l6 CHAPITRE I. 

H. Ensembles dérivés d'ordre supérieur. — Supposons que 
P< contienne une infinité de points. P' possède alors un ensemble 
dérivé que nous noterons P-. Nous dirons que P- est le dérivé 
d'ordre 2 de P. 

Puisque P' est fermé (n" 10), P- est contenu dans P'. Nous 
noterons ce fait ainsi (' ) : 

Réalisons des exemples d'ensembles de points possédant un 
dérivé du second ordre P-. 

Nous allons chercher à former un ensemble où le point - 

appartient à P^. P' devra contenir une infinité de points ayant 
ce point pour point limite. Ce seront par exemple les points 

i. _j — , _ _j — , . • . , — ! , . . w II nous faut maintenant placer de 

nouveaux points ayant pour points limites les points de P'. Con- 
sidérons l'intervalle de i à — \- -• Nous y plaçons une infinité de 

24 ./ r ^ 

points ayant pour point limite le point ; — h 7- Ce seront les points 

__ I \ _!_ / 1 . I \ . _!_ 

' 4/ "*" 16' ■ ■ ■' Va "^ 4/ 2"' 

Pareillement, dans chacun des intervalles en nombre infini de la 

forme H à — h : > nous plaçons un ensemble de points 

■X a" 2 2"+' l ^ i 

occupant la même situation par rapport à cet intervalle que l'en- 
semble ( - ' 7 ' o j • • • ) par rapport à l'intervalle (0,1). 

Soit P l'ensemble des points ainsi obtenus. On voit que les 

I r I II . ,. . i^ Ti 

points -> ; — hy • • -y — '^ TTi'' ' ' ' sont points limites pour i\ Ils 

appartiennent donc à P'. Ces points de P' ont un point limite,. 

le point -• Ce point appartient à P-. Nous avons ainsi construit un 

ensemble P dont le dérivé du second ordre contient un point donné 
à l'avance. 



(') D'une manière générale, nous indiquerons par P^ Q le fait que l'ensemble 
P conlient tous les points de Q, par P > Q le fait que P contient tous les points, 
de Q et, en outre, au moins un point. 



PREMIERES RECHERCHES SUR LES FONCTIONS DISCOTIXCBS. I7 

Une fonction telle que V ensemble P des points de disconti- 
nuité possède un ensemble dérivé P* comprenant un nombre 
fini de points est limite de fonctions continues. 

En eflet, soient M,, Mo M,, les points dont se compose P-. 

Dans toute portion du segment AB qui ne contient aucun des points 
M,, Mo, . . ., Mrt, l'ensemble P' contient un nombre fini de points; 
donc (n" 10), y est, dans cette portion, limite de fonctions con- 
tinues. Le théorème I montre qu'il en est de même sur le segment 
total AB. 

12. Dès lors, il est très aisé d'obtenir des fonctions discon- 
tinues de plus en plus compliquées, en généralisant la notion 
d'ensemble dérivé. Appelons d une manière générale dérivé 
d'ordre v de P, le dérivé de P'~', et désignons-le par P': nous 
définissons ainsi des ensembles désignés par P', P-, ..., P^, .... 

Montrons que, si l'on sait construire un ensemble de points 
pour lequel P^ existe, on peut en construire un pour lequel P'^' 
existe, et contient un point M donné à 1 avance. 

Je me donne une infinité de points M, , Mo M„ tendant 

vers M ifig. 1 1). Plaçons dans chacun des intervalles M^M^^,, 

Fi" II. 



un ensemble possédant un dérivé d'ordre v. et tel que M„ fasse 
partie de ce dérivé d'ordre v. L'ensemble de tous les points in- 
troduits aura un dérivé d'ordre v qui contiendra les points M,. 

Mo. M,,. Ce dernier ensemble ayant un point limite M, 

Tensemble primitif aura un dérivé d'ordre (v -+- i i dont M fera 
partie. 

Nous aurons, relativement aux fonctions discontinues, le théo- 
rème suivant : 

Etant donnée une fonction telle que V ensemble P de ses 
points de discontinuité possède un dérivé d'ordre entier com- 
prenant un nombre fini de points, cette fonction est limite de 
fonctions continues. 

Supposons le théorème démontré pour toutes les valeurs entières 
R. B. o 



l8 CHAPITRE I. 

inférieures ou égales à un certain nombre v, et démontrons-le 
pour le nombre (v -f- i). 

Soient M,, Mo, ..., M,i les points de P^+*. Dans tout intervalle 
ne contenant aucun de ces points, Pv+' est nul ; donc P'' n'y possède 
qu'un nombre fini de points. Dans ce segment, la fonction est 
donc limite de fonctions continues. Par application du tbéorème I, 
elle l'est encore dans le segment total. 

13. On peut former des ensembles de points pour lesquels le 
dérivé d'ordre v existe quel que soit v. 

Prenons sur le segment un point M. Je prends une suite de 
points M,, Mo, M3, ... {fig. 1 1), tendant vers M. D'une manière 
générale, plaçons, dans MvMv+j, un ensemble possédant un dérivé 
d'ordre v, et cela, pour toutes les valeurs de v. Considérons l'en- 
semble P formé par la réunion de tovis ces ensembles. Je dis qu'il 
possède un dérivé d'ordre v, quel que soit v. Car, étant donné v, 
pour les points de l'intervalle MvMy+i, le dérivé d'ordre v existe, 
et aussi pour tous les intervalles suivants : Mv+)Mv+o, .... Donc, 
P^ existe. De plus, le point M est contenu dans tous les ensembles P^. 
Il j a lieu, à ce sujet, de donner le théorème général suivant : 

Étant donné un ensemble P, réparti sur un segment Jini, et 
ayant un ensemble dérivé d' ordre v quel que soit v^ je dis 
qu^il y a au moins un point de V intervalle qui appartient à 
tous les ensembles P^. 

Plus généralement, étant donnés, sur un segment Jini, des 
ensembles fermés en nombre infini P,, Po, ..., Pv, ..., satis- 
faisant aux conditions 

Pi^P2>...>Pv^..., 

il existe au moins un point qui appartient à tous les P^ 

En effet, par hypothèse, le segment AB contient, quelque soit v, 
des points de Pv; on reconnaît que, si l'on divise AB en deux seg- 
ments AC, CB, la même propriété appartient à l'un au moins de 
ces segments; en répétant le raisonnement, on forme une suite de 
segments possédant tous cette propriété, et dont chacun est con- 
tenu dans le précédent, et l'on peut faire en sorte que leur longueur 
tende vers o; dans ces conditions, il y a un point unique qui est 



PREMIÈRES RECHERCHES SLR LES FONCTIONS DISCONTINUES. I9 

commun à tous ces segments; ce point appartient à chacun des 
ensembles Py, qui sont tous fermés. 

14. Nous désignerons l'ensemble des points qui appartiennent 
à P^, quel que soit v, parla notation P*^, et nous dirons que P'" est 
\ ensemble dérhé de P d'ordre co. 

Pour rappeler que cet ensemble est, par définition, celui de tous 
les points communs à P'. P- P"' nous écrirons : 

!'«-= D(P>,Pi, ..., Pv, ...) 

et nous dirons que P*^ est le plus grand commun diviseur de 
P'.P- pv, .... 

Montrons que P*^ est un ensemble fermé. 

Plus généralement, si P, Q, R. ... sont des ensembles fermés, 
en nombre ^/i£* ow infini, l'ensemble S des points communs à P, 
Q, R, ..., s'il existe, est fermé. Car, si un point Aest limite pour 

S, il est limite pour chacun des ensembles P, Q, R donc 

appartient à tous, donc il appartient à S. 

Si une portion de l'intervalle considéré ne contient aucun 
point de P*^. il existe un entier v tel que P' ne contient dans 
cette portion qu'un nombre fini de points. 

En effet, si dans l'intervalle a^ il existait des points appartenant 
à tous les ensembles P', P-, .... P'. il y aurait dans cet inter- 
valle au moins un point de P*^. Donc, l'un au moins des ensembles 
P' ne contient pas de points dans cet intervalle. D'ailleurs, si un 
ensemble P^ ne contient pas de points, il en est de même de tous 
ceux qui le suivent. 

Les ensembles P', P-, .... P"', ... se rangent donc en deux caté- 
gories. Les uns contiennent des points dans l'intervalle a3, les 
autres n'en ont pas. Parmi ceux-ci, il y en a un dont l indice est 
plus petit que tous les autres ('). Si cet ensemble n'est pas P', 

(') Oq s'appuie sur ce fait qu'un ensemble A de nombres entiers possède un 
élément plu? petit que tous les antres : 

En effet, si i fait partie de A, i est le plus petit élément de A. Sinon, et si n en 
fait partie, ce sera 2. Si, ni i. ni a n'appartiennent à A. nous essayons 3, et ainsi 
de suite. Le premier nombre de A atteint sera son plus petit élément. 

Je dis qu'on atteindra ce nombre au bout d'un nombre flni d'essais. Car, soit a 
un entier faisant partie de A, qui par hjpothése en contient, a est une limite su- 
périeure du nombre d'essais à effectuer. 



20 CHAPITRE I. 

soit (v+i) son indice. On voit que, dans aji, P^ contient des 
points, et il en contient un nombre Jini puisque P''+' n'en contient 
pas. 

Nous aurons sur les fonctions discontinues le théorème suivant: 

Étant donnée une fonction f définie sur un segment AB, si 
l'ensemble F des points de discontinuité est tel que V^ se com- 
pose d^un nombre fini de points, La fonction est limite de fonc- 
tions continues. 

En effet, dans tout intervalle ne comprenant aucun des points 
de P*^, la fonction est limite de fonctions continues, parce qu'il 
existe un dérivé P^ n'ajant dans cet intervalle qu'un nombre fini 
de points (n" 12). Donc on se trouve dans les conditions d'applica- 
tion du théorème I. 

lo. Poursuivons la généralisation de la notion d'ensemble 
dérivé. 

On peut construire des ensembles de points tels que P" existe et 
contienne une infinité de points. 

Je me donne sur AB une infinité de points M, , Mo, . . ., M,;, . . . 
{fig. 1 1) tendant vers M. Dans chacun des intervalles M,; M,,^,, je 
])lace un ensemble de points possédant un dérivé d'ordre (o dont 
fasse partie M« et ainsi pour toutes les valeurs de n. L'ensemble 
total aura un dérivé P^^ comprenant tous les points M,, Mg, ..., 
M/;, ... et possédant par suite un point limite M. V^ a un dérivé. 
Nous le notons P"+' (cette notation étant purement conven- 
tionnelle). 

Nous pouvons construire des ensembles P, tels que P'^+i ait un 
dérivé. Nous le désignerons par P<^+-. D'une façon générale, si l'on 
a défini P«+v^ le déri\é de cet ensemble sera noté P^î+v+i. Ces 
ensembles étant tous fermés, on a 

PW> PW4-1> P(l)^-2> > Pm+v>, 

Si l'ensemble dérivé d'ordre v de P'^, c'est-à-dire P^+v, existe 
quel que soit v, nous avons vu (n" 13) qu'il existe alors sur AB des 
points appartenant à tous ces ensembles. Ces points forment un 
ensemble fermé que nous désignerons par P'^^s g^ nous écrirons : 

Pwx2 — £)(^pa)-i-l^ pw+2^ _ _ pw+v _\_ 



PREMIÈRES RECHERCHES SIR LES FONCTIONS DISCONTINCES. 9,1 

Pour construire un ensemble où P'^'^^ existe, je m'appuie sur ce 
qu'il est possible de placer sur un segment donné un ensemble 
admettant un dérivé P«^+*. 

Je considère alors une infinité de points M|, Mo, ..., Ma, • • • 
tendant vers M. Dans Tintervalle M^M^+i je place un ensemble 
avant un dérivé P«'»+*, et ainsi pour toutes les valeurs de h. Len- 
semble total possède un dérivé P^+a, quel que soit h. Donc il pos- 
sède un dérivé P«^2 qui contient M. 

Pareillement P'^'^^ peut avoir un dérivé et même des dérivés suc- 
cessifs; nous convenons de les désigner par les indices 

Si P*^^- possède une infinité d'ensembles dérivés, on désignera 
l'ensemble commun à tous ses dérivés par P«*^'. 

D'une façon générale, nous arrivons à la notion d'ensemble 
dérivé d'ordre w x A, et d'ordre co x a -r- v, a et v étant des nom- 
bres entiers quelconques. 

Pour préciser la signification de P««»<).+v^ nous dirons : 

Si P**^^aété défini, Pw'^î--*-' est son dérivé, P«^>^+v+« est le dérivé 
de pwx).-H;. pw{>.+ i) est l'ensemble des points communs aux en- 
sembles 

PmxX^ pwxX-i-i, _ _ , pwx>,-f-v .... 

L'utilité de ces définitions résulte de ce qu'on peut construire 
effectivement des ensembles possédant ces dérivés. 

A l'aide dune série de points M,, M^, . . ., M„. . . . tendant vers 
un point M, dans les intervalles desquels on place des ensembles 
d'une construction déjà connue, et choisis convenablement, on 
construira : 

1° Un ensemble possédant un dérivé pw^>+A+' , sachant construire 
un ensemble possédant un dérivé P^^à+a. et, par suite, pour cette 
même valeur de a, un ensemble possédant un dérivé Pw^^+v, quel 
que soit v ; 

2° Pour celte valeur de a, un ensemble possédant un dérivé P*^^'-"*"'^; 

3° Un ensemble possédant un dérivé P^^^^- quel que soit a. 

Les dérivés P**, P^xa^ ^ pwxx^ ^ dont chacun est fermé et 
contenu dans le précédent, sont tels, d'après le théorème du n° 13, 
qu'il existe des points communs à tous ces ensembles. L'ensemble 



■ri CHAI'lTItl': 1. — l'UKMIlhtES HECUKRCllES SUR LES FONCTIONS DISCONTINUES. 

des points communs à tous les ensembles P'", P^xi»^ ^ _^ pcoxx^ _^ 
quel que soit A, sera noté P"^' : 

Remarquons que, par cela même, P"*'' sera l'ensemble des points 
communs à tous les pw>+v^ quels que soient A et v, puisque pw().+ i) 
est l'ensemble de tous les points communs à P'^^, P^X+i^ ^ 

pwX+v 

Rien n'empêche que P'^' contienne une infinité de points, ait un 
dérivé, une suite de dérivés analogues à la suite définie en partant 
de l'ensemble P lui-même. 

Résumons ainsi la formation successive de tous ces ensembles 
qui s'échelonnent d'une façon bien déterminée : étant donné l'un 
d'eux, nous en déduisons le suivant, qui est son dérivé. Par l'appli- 
cation de cette règle, on est conduit à considérer une suite infinie 
d'ensembles, dont chacun est contenu dans le précédent, et à 
former l'ensemble de leurs points communs. Il y a donc deux j)ro- 
cédés distincts pour l'introduction de nouveaux dérivés. 

Il est nécessaire, avant d'aller plus loin, d'approfondir les notions 
nouvelles auxquelles nous conduit ce double mode de générali- 
sation. Ce sera l'objet du Chapitre suivant. 



CHAPITRE IL 

LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFLNIS. 



I. — La notion d'ensemble bien ordonné. 

16. Xous avons introduit, pour rappeler l'échelonnement suc- 
cessif des ensembles définis au n" lo, des notations nouvelles qui 
ont l'avantage de rappeler d une façon simple l'ordre relatif des 
différents ensembles introduits, ce qui serait beaucoup plus difficile 
avec l'emploi exclusif des nombres entiers positifs. 

Les signes introduits constituent les premiers nombres trans- 
finis de M. Cantor. Nous allons préciser cette notion de nombre 
transfini par de nouveaux exemples de cas où elle s'impose. 

Considérons des points en nombre infini, M,, Mo, ..., M^, ... 
{fig- 12), disposés sur un segment AB de telle manière que My^i 

FiiT. 15. 

A P Q B 



soit toujours à la droite de Mv. Xous savons qu'en pareil cas, ces 
points restent en deçà d'un point limite P. Introduisons mainte- 
nant un nouveau point Q à la droite de P, considérons l'ensemble 

des points M,, Mo M,,, P, Q; convenons de dire que, de deux 

points de cet ensemble, celui qui a l'abscisse inférieure a un rang 
inférieur à l'autre, et -cherchons à désigner les points de cet 
ensemble par des notations qui indiquent leur ordre relatif. 

Le problème est résolu pour les points M,, Mo, ..., M.; à 

l'aide des indices dont ils sont affectés. Pour étendre cette solu- 
tion aux points P et Q, nous noterons P parM^, en convenant 
qu'un élément d'indice to a un rang supérieur à un élément d'in- 
dice V, V étant un entier quelconque. Q sera noté Mt^,, en conve- 
nant une fois pour toutes, que M„^, a un rang supérieur à M^,. 



a4 CHAPITRE II. 

Parce moyen, connaissant les indices de deux points quelconques 
de l'ensemble, nous connaîtrons l'ordre relatif de ces points. 

Considérons maiiatenant en plus de la suite précédente, une 
suite de points IN,, No, ..., Nv, ... d'abscisses encore croissantes, 
situés enti^e P et Q, et tendant vers Q {fig. i3). Supposons que 



Fis. i3. 



P 



\- 



M, M2 Mv N, Nv 

nous voulions représenter tous ces points par un système de nota- 
tions unique, indiquant leur ordre relatif. Il nous suffît de dési- 
gner le point Nv par M^+v, et le point Q qui est à la droite de tous 
les autres par la notation M^x'-'- 

On peut former des ensembles plus complexes encore. Sur le 
segment AB, prenons une succession de points P,, Po, ..., Px, ..., 
en nombre infini, tendant vers un point Q {^fig- i4)- Dans chaque 



Fig. 1-1. 



A 

t ( H 



X 



Pi P2 P/PX* 

intervalle Px, Px+i, plaçons un ensemble de points d'abscisses 
croissantes tendant vers l'extrémité de droite Px+i de l'intervalle. 
La notation suivante indiquera clairement l'ordre relatif de deux 
points quelconques de l'ensemble total. 

Les points seront désignés par rangs croissants : entre A etP,, 
par M^, M2, ..., Mv, . . . ; P) par M^^ ; entre P, et Po, par M^^^,, 
Mw+o, . . ., Mw+v, ... ; P2 par M^^^o, et ainsi de suite. 

P<, Po, ..., Px, ..., seront désignés par M^, M^^^a, •••, M^xX, •••• 
Le point Q qui est à la droite de tous les points Px sera noté M^,;. 

17. Un nouvel exemple sera donné par la considération de 
suites d^ entiers. 

On appelle ainsi un ensemble d'entiers positifs rangés dans un 
ordre déterminé 

«1, «2» • . • 5 Ct-ni ... 

Considérons deux suites d'entiers 

bi, 62, ..., è„, ... 



LES ENSEMBLES BIEX ORDONNES ET LES NOMBRES TRANSFINIS. 1) 

que nous désignerons par S| et So. Nous conviendrons de dire que 
la suite Sj esl plus croissante que la suite Si, s il existe un rang 
p tel que, dès que n^ p. on a 6„ >» a,i. 

En général, deux suites ne sont pas comparables, cest-à-dire 
qu il n"j a pas lieu de dire que 1 une est plus croissante que lautre. 

Nous allons montrer qu'étant donnée une infinité dénom- 
brable (*) de suites, il est possible de construire une nouvelle 
suite plus croissante que chacune des premières. 

Désignons les suites par les lettres S,, So, ..., S«, ... et chacun 
de leurs éléments par un double indice. Le tableau, indéfini dans 
deux sens, des éléments des suites, sera le suivant : 

Si, rtl.l, «M, «l.p, — , 

Sjj fli.i, «î.î, •••, «!./j} •••, 

^/i, ^».I» ^n.ii •••■> f^n.pi •••1 



Constituons de la façon suivante une nouvelle suite - dont nous 
désignerons les éléments par 6,, b^ bp. 

6, sera l'entier immédiatement supérieur à a,^, ; èo l'entier im- 
médiatement supérieur au plus grand des deux entiers rti.o? «2.2 : 
bp au plus grand des p entiers rt,.p, a>.p. ..., ap.p. 

La suite S est parfaitement définie. Je dis que - est plus croissante 
que Tune quelconque des suites données. Comparons en effet S« 
et S. A partir du /i'*^™^ terme, on a 

ce qui démontre la proposition. 

Appliquons le théorème aux suites de plus en plus croissantes : 



s„ 


I, 


I, • 


.. I, . . . , 


Sî, 


2, 


2, . 


., 2, . . . , 


• • •■? 


«» 


n, . . 


., n, , 

-, .., .... 



(■) En ce qui concerne la notion de dénombrabilité, voir Leçons sur la Théo- 
rie des fonctions, de E. Borel, pages 8 et suivantes. 



a6 CIIAPITRK II. 

Sans appliquer la règle donnée dans la démonstration précé- 
dente, nous apercevons immédiatement la suite plus croissante : 

I, 2, 3, ..., p, 

Pour rappeler que cette nouvelle suite est plus croissante qu'une 
quelconque des suites S,^,nous la désignerons par S^, considérant 
en un certain sens iù comme un indice supérieur à tous les entiers 
positifs. 

Pour former une suite plus croissante que S^, il suffira d'aug- 
menter d'une unité chaque élément de Sw La suite obtenue sera 
par suite plus croissante que chacune des suites S|, So, ..., S„, 

Ce sera 

•2, 3, 4, — 

Nous la désignerons par S^+i . Désignons d'une façon générale 
par S(,,_(.„ la suite 

Les suites Sw+i, •••, St^+w, ... sont de plus en plus croissantes et 
en nombre infini. Nous pouvons en trouver une plus croissante. 

Ce sera la suite 

2, 4, G, 8, 

Nous la désignerons par 8^x2- 

On peut continuer l'application du procédé. On notera S^^o+m 
Sa)x2+27 •••5 S(^,^2_,.v, ... les suites suivantes : 

3, 5, 7, 9, 

4î 6, 8, lo, 

• 1 • 1 • 1 • • ) 

V -4- 2. V -4- 4, V -f- ('), V -+- 8, 



La suite plus croissante 

3, 6, 9, 12, ... 
sera notée S^xa- 

D'une manière générale, désignons par S^.x la suite 

I X X, 2 X X, 3 X X, . . . , 
et par Sm.),+v la suite 

I X X -i- V, 2 X X -i- V, 



LES ENSKMBLES BIEN ORDONNES ET LES NOMBRES TRANSFINIS. 27 

Considérons enfin les suites S^,. S^^j' •••' '^wx'/. '■ 

I, 2, 3, 4i • -, 
?-, 4. C, 8 

A, 2À, 3/, 4 À, ..., 
., .., .., .., .... 

On aperçoit immédiatement la suite plus croissante 

I, 4, 9. •••, '>-, •••, 

que nous noterons S^^. 

18. Tous les exemples étudiés précédemment, ensembles déri- 
vés, points d'un segment, suites d'entiers, présentent ce caractère 
commun que Tordre relatif des éléments qui y figurent est chaque 
fois parfaitement déterminé. 

Pour l'introduction d'un élément nouveau, nous nous sommes 
placés dans deux sortes de cas. Dans un premier cas, étant donné 
un ensemble d'éléments dans lequel l'un d eux a un rang supé- 
rieur à tous les autres, nous en ajoutons un nouveau qui a un rang 
supérieur à ce dernier. Dans le second cas, étant donné un en- 
semble d'éléments dans lequel aucun d'eux n'a un rang supérieur 
à tous les autres, nous en ajoutons un, ayant cette propriété. 

Nous allons généraliser ces considérations et ces méthodes en 
nous plaçant à un point de vue tout à fait général. Les éléments 
des ensembles dont nous nous occuperons dans le présent Chapitre 
sont des êtres mathématiques absolument quelconques, nombres, 
points, fonctions, suites, etc 

Ensembles ordonnés. — Etant donné un ensemble d'éléments, 
nous dirons que cet ensemble est ordonné si l'on fait une conven- 
tion qui permet de ranger ces éléments dans un certain ordre, de 
telle sorte que : 

i" Etant donnés deux éléments quelconques de l'ensemble, a et 
6, l'un a un rang inférieur à l'autre, ce que j'écrirai, si c'est a qui 

a le rang inférieur : 

a -^b ou b)- a ; 

2° Etant donnés trois éléments a, 6, c, les conditions a -^bj 
b -<^c entraînent a -^c. 



28 CHAPITRE II. 

Par exemple : l'ensemble de tous les nombres réels positifs, 
nul et négatifs, constitue un ensemble ordonné si, étant donnés 
deux nombres a et 6, on convient de donner le rang inférieur à 
celui qui est plus petit que l'autre. Il en est de même pour 
l'ensemble des nombres rationnels de l'intervalle (o, i), si l'on 
adopte la même convention. 

Nous pouvons aussi ordonner l'ensemble des nombres ration- 
nels de l'intervalle (o, i) en rangeant ses éléments en une suite 
correspondant aux nombres entiers o, i, 2, ..., v, ..., ce que l'on 
sait être possible. Pour fixer les idées, nous adopterons l'ordre 
suivant : d'abord o; 1; puis, toutes les fractions irréductibles, 
ajant pour dénominateurs successivement 2, 3, 4? ..., /i, ... et 
rangées par ordre de grandeur pour un même dénominateur, c'est- 
à-dire : 



I I '2 I 3 

•2 j 3 4 4 



Nous pouvons désigner ces nombres dans l'ordre où nous les 
rencontrons, par 

«1, a,, . . ., Cl;,, 

Convenons maintenant, étant donnés deux nombres rationnels 
ai et aj compris entre o et i, de considérer celui des deux dont 
l'indice est plus petit comme ayant le rang inférieur. Cette con- 
vention une fois faite, l'ensemble est ordonné. 

Similitude de deux ensembles. — • Nous dirons que deux 
ensembles ordonnés sont semblables s'il existe entre leurs éléments 
une correspondance biunivoque et réciproque telle que l'ordre 
relatif des éléments correspondants soit conservé. Autrement dit : 
Soient deux éléments a, b de l'un correspondant aux éléments «', 
b' de l'autre. La condition a -^b entraîne a' ~< b' et réciproquement. 

La loi qui définit la correspondance est dite une application 
d'un des ensembles sur l'autre. 

Deux ensembles semblables à un troisième sont semblables 
entre eux. 

Soient les deux ensembles A, B, semblables à C. Il existe, par 
hypothèse, deux correspondances, l'une entre les éléments de A 



LES ENSEMBLES BIEX ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFIMS. 2g 

et de C, l'autre entre ceux de B et de C, telles que a e\. b corres- 
pondant à c, a' et b' à c', la condition : c-^c' entraîne séparément 
a-^a'. et b -(b\ et, réciproquement, lune quelconque de ces 
deux conditions entraîne c -^c'. Si donc nous faisons correspondre 
entre eux les éléments de A et de B qui correspondent à un même 
élément c de C, b -^b' entraînera a -<a', puisque b -^b' implique 
c-^c' qui implique a -{a'. Cette correspondance est donc une 
application. 

19. Ensembles bien ordonnés. — Un ensemble supposé or- 
donné est dit bien ordonné si tout ensemble contenu dans len- 
semble donné (y compris lensemble donné lui-même), possède 
un élément initial, c est-à-dire un élément de rang inférieur à tous 
les autres. 

Comme exemple d ensemble ordonné, mais non bien ordonné, 
on peut citer 1 ensemble E des nombres rationnels de l'inter- 
valle (o,i), si la convention faite est qu'un élément a un ranij 
inférieur à un autre quand sa vale:ur est plus petite. Cet ensemble 
est ordonné, mais non bien ordonné. Car. si je considère l'en- 
semble partiel E', formé par les nombres de E supérieurs à - , ces 

nombres sont de la forme a. a étant rationnel et positif: or. 

quel que soit a, le nombre — ; — a un rang inférieur au nombre 
(- — a) et fait partie de E'; E' n'a donc pas d'élément initial. 

donc E n'est pas bien ordonné. 

Comme exemple d'ensemble bien ordonné, citons : une suite 
-de points A|, Ao, — , A,,, .... placés sur un segment de droite 
AB. se succédant de façon que tout point soit à la droite du pré- 
cédent, et avec la convention ordinale que le rang d'un point 
donné soit supérieur à ceux de tous les points placés à sa gaucbe. 
De deux points, celui dont l'indice est le plus petit a le rang infé- 
rieur. Je dis que tout ensemble partiel aura un élément initial: 
car. étant donné un ensemble d'entiers positifs, il v en a un plus 
petit que tous les autres. 

Etendons cet exemple : Soient les points A,. Ao. ..., A„ 

Ao), Aw+|, .... A(o+A- /^ étant un entier déterminé {Jig. i5). 
disposés sur AB de la façon suivante : quel que soit /i, A„^.| est à 



3o CIIAP1T1U-: II. 

la droite de A« et A^ à la droite de A„_^,. Aw+< est à la droite 
de Aw+i-c Convenons que le rang des points de l'ensemble soit 
conforme à l'ordre dans lequel on les rencontre sur le segment 
parcourvi de gauche à droite. Je dis que l'ensemble ainsi ordonné 
est bien ordonné. Soit E' un ensemble faisant partie de E. Je dis 
que E' a un élément initial. Deux cas sont possibles : i" E' con- 



A A,ju Aoi)+h B 

1 1 1 1 1 1 ( 

A) Aj Af, « 



tient des points d'indices entiers. Dans ce cas, celui dont l'indice 
est le plus petit aura un rang certainement inférieur à tous les 
points de E'; 2" E' ne contient pas de points d'indices entiers. 11 
ne contient donc qu'un nombre fini de points, pris parmi les 
points Aw, Ato^.!, . . ., A(a+h- Il a encore un élément initial. 

On verra de même que l'ensemble de points défini au n" 16 et 
qui contient des points désignés par 

Ml, M2, ..., Mv, ..., Mo), ..., M«.)+v, .-., M«. 

est bien ordonné, en adoptant la même convention d'ordre que 
pour l'ensemble précédent. 

Ln autre exemple nous est fourni par les dérivés d'un ensemble 
de ])oints P. INous avons défini les ensembles 

pi P2 Vil PtO PW.X+V pw- 

Ces ensembles peuvent être considérés comme les éléments d'un 
ensemble H. Pour définir l'ordre relatif de deux éléments de l'en- 
semble, nous donnons le rang inférieur à celui qui a été défini 
avant l'autre. A l'aide de cette convention, H sei'a bien ordonné. 

Enfin, considérons des suites dentiers de plus en plus crois- 
santes, formées par exemple d'après les procédés employés 
au n" 17 

01, 02, •••? ^/i) •••) Ju)i •••1 ^u).y.+v^ •••) S(o'. 

Considérons ces suites couime les éléments d'un ensemble H. 
Cet ensemble sera bien ordonné si, de deux suites, nous consi- 
dérons comme ayant le rang inféineur celle qui est la moins 
croissante. 



LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRAN5FIMS. 3l 



II. — Comparaison des ensembles bien ordonnés. 

20. La notion d'ensemble bien ordonné étant suffisamment 
éclaircie par ces exemples, nous allons Tanalyser au point de vue 
de la similitude et de la comparaison des ensembles bien or- 
donnés. 

Si E est un ensemble bien ordonné, toute partie E' de E est 
un ensemble bien ordonné, si Von conserve comme ordre re- 
latif de deux éléments de E', celui qu'ils possédaient dans E. 

Car, si E" est une partie de E', E'' est une partie de E. et pos- 
sède par suite un élément initial. 

Segment. — Soit a un élément quelconque de E. Xous appel- 
lerons segment de E défini par a l'ensemble A des éléments de E 
qui ont un rang; inférieur à a. 

A est un ensemble bien ordonné, si l'on conserve la même loi 
d'ordre relatif que pour E. 

Soient a et a' deux éléments distincts de E; si a -^a', le seg- 
ment A déterminé par a est un segment du segment A' déterminé 
par rt', de sorte que, étant donnés deux segments différents 
d'un ensemble bien ordonné, l'un est segment de l'autre. 

Etant donnés deux ensembles semblables, E et F, les ses"- 
ments respectifs A et B déterminés par deux éléments cojres- 
pondants a et b sont semblables. 

Je vais montrer que l'application en vertu de laquelle E et F 
sont semblables applique le segment A sur le segment B. En 
eflet, à tout élément a' de A correspond dans F un élément ^', 
qui appartient à B. car la condition a' --^a entraîne b'-^b. De 
même, à tout élément de B correspond un élément de A, et cette 
correspondance entre les éléments de A et ceux de B est réci- 
proque. Je dis de plus qu'il y a application. Car, l'inégalité a' -^a" 
entre deux éléments de A entraîne l'inégalité b' -^ b" entre les deux 
éléments correspondants de B. A et B sont donc semblables. 

Donc, si deux ensembles bien ordonnés sont semblables, 
tout serment de l'un est semblable à un ses^ment de l'autre. 



3-2 CIIAPITRK II. 

21. Un ensemble bien ordonné E ne peut être semblable à 
aucun de ses segments. 

Montrons que l'on aboutit à une contradiction, en admettant 
comme possible une application de E sur un de ses segments A. 

Soit a l'élément de E qui détermine A. L'élément a considéré 
dans E correspond à un élément de A que je désigne par a, ; 
rtj, faisant partie de A, a un rang inférieur à a. Désignons par A, 
le segment de A déterminé par a\. Nous venons de voir que A et 
A, sont semblables. Il j a application de A sur A,. 

Répétons notre raisonnement. L'élément a, de A correspond 
à un élément de A), «oj dont le rang est inférieur à a^. Soit A2 le 
segment déterminé par «o- A( et Ao sont semblables. Le raison- 
nement peut se poursuivre indéfiniment. Il serait donc possible de 
déterminer une suite infinie d'éléments de E : «), ao, • • -, <^n) • • •■> 
de rangs toujours décroissants et par suite n'ayant pas d'élé- 
ment initial, ce qui est impossible. 

Remarquons que, étant donné un ensemble bien ordonné, s'il 
comprend une infinité d'éléments, il j a toujours dans cet ensemble 
des parties qui sont semblables à l'ensemble. 

Par exemple, prenons l'ensemble des nombresfentiers i, 2, ..., 
;i, ... rangés par ordre de grandeur croissante. L'ensemble des 
nombres 4, ^1 • ■ •■> n -^ 3, ... lui est semblable. Il suffit de faire 
correspondre les nombres n du premier et n + 3 du second. De 
même les deux ensembles 1 , 2, . . ., n, ... et 2, 4: 6, . . ., a/z, ... 
sont semblables, et le second est une partie du premier. 

22. Du théorème précédent, nous déduirons deux conséquences 
importantes. 

Etant donnés deux ensembles bien ordonnés E, F, un seg- 
ment de l'un ne peut être semblable au plus quà un segment 
de V autre. 

Ceir, si le segment A de E était semblable à deux segments dif- 
férents B, B' de F, B et B' seraient semblables entre eux, ce qui 
est impossible, puisque, de ces deux segments, l'un est segment 
de l'autre. 

Deux ensembles bien ordonnés E et Y, qui sont semblables., 



LES EN'SEMBLES BIEX ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFINIS. 33 

ne peuvent être appliqués l'un sur l'autre que d'une seule 
manière. 

En effet, s'il y avait deux manières différentes d'appliquer E 
sur F, l'un au moins, a, des éléments de E correspondrait par les 
deux procédés à deux éléments différents 6 et b' de F. Mais alors, 
le segment A de a serait semblable aux deux segments différents 
B et B' de F, ce qui est impossible. 

23. Étant donnés deux ensembles bien ordonnés E et F, nous 
dirons que les éléments a de E et 6 de F sont homologues, si le 
segment A de E déterminé par a et le segment B de F déterminé 
par b sont semblables. 

Remarquons quil est toujours possible de trouver un couple 
d'éléments homologues dans E et F dès que chacun de ces en- 
sembles existe effectivement : il suffit de considérer les deux élé- 
ments initiaux de ces ensembles. 

Dans le cas particulier oîi E et F sont semblables, nous avons 
vu qu'il j a une seule application de E sur F. Deux éléments se 
correspondant oans l'application sont homologues, car on a vu 
que les segments déterminés par ces éléments sont semblables. 

Supposons E et F quelconques : 

I. Un élément a de ^ ne peut avoir plus d'un homologue 
dans F. Car, s'il y en avait deux, le segment A serait semblable à 
deux segments de F, ce qui est impossible (n** 22). 

II. Si les éléments a de Ej b de F, sont homologues, tout 
clément a' de E de ran^ inférieur à a a un homologue 
dans F. 

Car les segments A et B sont semblables. Les éléments corres- 
pondants dans l'application de A sur B sont homologues, consi- 
dérés comme appartenant à A et B, et par suite aussi considérés 
comme appartenant à E et à F. 

III. Si l'élément a de E n'a pas d'homologue dans F, il en 
est de même de tout élément a'>- a. 

Car si a' avait un homologue dans F, il en serait de même 
pour a, d'après IL 

R. B. 3 



1 



34 CHAPITRE H. 

IV. L'ensemble des éléments de E qui ont des homologues 
dans F, s'il n'est pas identique à E, constitue un segment de E. 

Car, s'il y a des éléments de E qui n'ont pas d'homologues 
dans F, l'un d'eux a un rang inférieur à tous les autres; soit a. 
Tout élément -^« a un homologue dans F. tandis que, d'après III, 
tout élément )- a n'en a pas. Donc l'ensemble des éléments de E 
ayant des homologues dans F est constilué par le segment de E 
déterminé par a. 

V. Si deux ensembles bien ordonnés E e^ F sont tels que 
tout élément de l'un a un Jiomologue dans l'autre, ils sont 
semblables. 

Je dis que la loi d'homologie des éléments de E et de F est une 
application de E sur F. Il suffit de prouver que, étant donnés deux 
éléments quelconques a et a' de E et leurs homologues b et // 
de F, la condition a -{a' entraîne b -^ b' . 

Les segments V de E déterminé par a' et B' de F déterminé 
par 6' sont semblables. Donc A, qui est segment de A', est tel qu'il 
y a dans B' un segment B, qui lui est semblable. Ce segment 
appartient à F et il est unique dans F. Or, A est semblable à B, 
puisqvie a el b sont homologues. Donc, B est ideiilicpie à B,. 
Donc, B est un segment de B', donc b -^ b' . 

Considérons deux ensembles bien ordonnés quelconques. Deux 
cas sont possibles. Ou bien tout élément de l'un a un homologue 
dans l'autre : les deux ensembles sont semblables, d'après V. Ou 
bien il y a au moins un élément de l'un des ensembles qui n'a 
pas d'homologue dans l'autre. Etudions ce cas. 

Supposons que dans E il existe des éléments n'ayant pas d'ho- 
mologues dans F. D'après IV, l'ensemble des éléments de E qui 
ont des homologues dans F est un segment A déterminé par un 
élément a. Je dis que l'ensemble des éléments de F qui ont des 
homologues dans E (lesquels font nécessairement partie de A) est 
identique à F; en effet, si cela n'était pas, d'après IV, cet 
ensemble serait un segment B de F déterminé par vin élément b', 
les ensembles A et B seraient tels que tout élément de l'un aurait 
un homologue dans l'autre; ils seraient semblables, d'après V; 
donc a et b seraient homologues, contrairement à ce fait que b n'a 



LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFINIS. 35 

pas d'homologue dans E. A et F sont tels que tout élément de l'un 
a un homologue dans l'autre ; donc F est semblable au segment A 
deE. 

En résumé, nous sommes parvenus au théorème fondamental 
suivant qui est la conclusion de toute cette étude : 

TnÉortÈAiE. — Etant donnés deux ensembles bien ordonnés E 
et F, ou bien ils sont semblables, ou bien V un est semblable à 
un segm.ent de Vautre. 



III. — Les ensembles bien ordonnés dénombrables. 

2i. Etant donnés deux ensembles bien ordonnés E et F, nous 
dirons que E est plus étendu que F, si F est semblable à un seg- 
ment de E. 

Proposons-nous de former des ensembles bien ordonnés de plus 
en plus étendus. Nous y parviendrons au moyen des procédés gé- 
néraux suivants, que nous avons déjà eu l'occasion d employer 
dans des cas particuliers. 

Premier procédé. — Etant donné un ensemble bien ordonné 
dans lequel un élément « a un rang supérieur à tous les autres, on 
forme un ensemble bien ordonné plus étendu, en ajoutant à 
l'ensemble un élément b qui a un rang supérieur à a. 

Le nouvel ensemble est bien ordonné; car toute partie de cet 
ensemble, si elle ne se réduit pas au seul élément b. contient des 
éléments du premier ensemble. L'un d'eux possède un rang infé- 
rieur aux autres; il conserve sa propriété dans le nouvel ensemble. 

Comme exemple d'application de ce procédé, citons la formation 
d'un ensemble dont les éléments correspondent aux entiers 
I, 2, .... V, V -h I, quand on part d'un ensemble dont les éléments 
correspondent aux entiers i . 2, .... v. 

De même, partant d'un ensemble d'éléments d'indices 

I, -2, ..., V, ..., U), 

nous avons appris à former un ensemble contenant ces éléments, 
et en plus un élément d'indice [lù -j- i). 



36 CHAPITRE II. 

Deuxième procédé. — Supposons que l'on sache former une 
infinité d'ensembles bien ordonnés A,, Ao, ..., Av, ... dans les 
conditions suivantes : A, est un segment de A2, A2 est un seg- 
ment de A3 et, d'une façon générale, Ay est un segment de Av^,. 
Je dis que nous pouvons former un ensemble B qui soit bien 
ordonné et tel que chacun des ensembles A,, Ao, ..., Av, ... soit 
segment de B. Procédons de la façon suivante : nous prenons 
d'abord les éléments de A), puis nous plaçons à la suite, et dans 
leur ordre relatif, les éléments de Ao qui n'entrent pas dans A< ; à 
la suite, les éléments de A3 qui n'entrent pas dans A2, et ainsi in- 
définiment. Soit B l'ensemble ainsi formé. Je dis qu'il est bien 
ordonné si Ton convient que : i" de deux éléments qui appar- 
tiennent à un même ensemble Av sans appartenir ni l'un ni l'autre 
à Av_i, l'élément de rang inférieur est le même que dans Av; 
2" pour deux éléments introduits dans deux opérations différentes 
de rangs v et v', l'ordre des éléments est celui des opérations. 

Il faut prouver que toute partie B' de B a un élément initial. 
Soit A)^ la partie de B' comprise dans A,,. 

Si A', contient effectivement des éléments, l'un d'eux a un rang 
inférieur à tous ceux de A', et, par suite, à tous ceux de B'. Si A' 
ne contient pas d'élément et si A'^ en contient, l'élément initial 
de A., répond à la question. Si ni A'^ ni A', ne contiennent d'élé- 
ments, nous raisonnons sur A',, et ainsi de suite. En répétant ce 
raisonnement, on arrive, au bout d'un nombre fini d'opérations, si 
B' contient réellement des éléments, à un ensemble A^ non nul, dont 
l'élément initial est l'élément initial de B'. 

Ainsi B est bien ordonné. Remarquons qu'il ne possède pas 
d'élément de rang supérieur à tous les autres. Soit, en effet, un 
élément «. Il a été introduit par l'opération de rang v. Les élé- 
ments de Av+( que nous introduisons dans l'opération suivante ont 
un rang supérieur à celui de a. 

Comme exemples, considérons les ensembles dont chacun est 
segment du suivant, et dont les éléments correspondent : 

Ceux, de Al à i; 

Ceux de A2 à i, 2; 

) • ? 

Ceux de Ay à i, 2, .. v, 



LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFIMS. o' 

L'ensemble dont les éléments correspondent à 

I, 2, ..., V, ..., 

où V prend toutes les valeurs entières possibles, est formé par 
application du second procédé. 

Nous avons appris à former des ensembles dont les éléments 
correspondent : ceux de A, à 

I, 2, ..., V, ...; 
ceux de Ao à 

I, 2, ..., V, ..., co, u)-T-i, ..., aj-4-v, ..., 
et généralement ceux de A), quel que soit À, à 

', 5, ••., V, ..,, ta w — V, ..., 

wfX — i), ..., io(X — i)-f-v, 

Le second procédé, appliqué à ces ensembles, permet de former 
un ensemble B dont les éléments correspondent aux expressions 

1 et V recevant toutes les valeurs entières. 

Troisième procédé. — Étant donné un ensemble bien ordonné 
dans lequel aucun élément n'a un rang supérieur à tous les autres, 
on ajoute un nouvel élément qui a un rang supérieur à ceux de 
tous les éléments donnés. 

11 est évident que, en conservant la relation d'ordre, on a encore 
un ensemble bien ordonné. 

Par exemple, aux éléments composantes deux ensembles formés 
dans les exemples précédents, d'indices 

I, 2, ..., V, ... 

et 

on ajoute respectivement un élément dïndice co et un élément 
d'indice to^. 

Les trois procédés précédents, appliqués à des ensembles dé- 
nombrables, conduisent à des ensembles encore dénombrables. 

La proposition est évidente dans le cas du premier et du troi- 
sième procédé, puisqu'on n'ajoute qu'un élément à un ensemble 



38 CHAPITRE II. 

dénombrable donné. Pour le deuxième procédé, la proposition ré- 
sulte du fait que la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles 
dénombrables est dénombrable ('). 

25. Nous allons faire, sur les ensembles bien ordonnés dénom- 
brables, l'étude inverse de la précédente. Nous allons montrer 
qu'un tel ensemble peut être déduit d'ensembles moins étendus par 
application des trois procédés indiqués. 

Étant donné un ensemble bien ordonné dénombrable E, deux 
cas différents sont possibles : 

i" E possède un élément ayant un rang supérieur à celui de 
tous les autres. Soit a cet élément, E' l'ensemble des autres élé- 
ments. E se déduit de E' par le premier ou par le troisième pro- 
cédé, selon que E' a ou non un élément de rang supérieur. 

2" E ne possède pas un élément de rang supérieur à tous les 
autres. Nous allons voir qu'on peut obtenir E par application du 
deuxième procédé. 

L'ensemble E étant dénombrable, ses éléments peuvent être 
rangés en une suite correspondant à celle des nombres entiers 

(l) «1, «2, «3, . . . , «V) • • • • 

D'autre part, puisqu'il n'y a pas d'élément de rang le plus 
élevé, il existe un élément de rang supérievir à tout élément déter- 
miné. 

Partons de l'élément a^. La suite (i) contient une infinité d'élé- 
ments de rang supérieur à «< . Prenons parmi eux celui qui a, 
dans (ij, le plus petit indice, soit a^ . Xo est au moins égal à 2, 
et ax, a un rang supérieur à tous les éléments qui le précèdent 
dans la suite (i). 

Dans la suite d'éléments 

nous prenons le premier a^^, qui ait un rang supérieur à a,^. a^^ a 
dans E un rang supérieur à tous ceux qui le précèdent dans la 
sviite (i). On peut continuer l'application de la méthode indéfini- 

(') Voir Leçons sur la théorie des fonctions, par E. Borel, Chapitre I. 



LES ENSEMBLES BILX ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFINIS. Sg 

ment. On forme de cette manière une suite 

(•2) rt, -<(«>,-<< a>, -<(...-<<«),, -^..., 

chaque élément de la suite (2) avant un rang supérieur à tous ceux 
qui le précèdent dans la suite (i); on a de plus 

Je dis qu étant donné un élément quelconque de E, il v a dans 
la suite (2) des éléments qui ont un rang supérieur à lui. Car cet 
élément figure dans (i) à un certain rang; supposons que ce soit 
I élément a^,. Nous avons 

L'élément «à^^.! a un rang supérieur à tous ceux qui le précèdent 
dans (i), en particulier à a.^. 

Ainsi, étant donné l'ensemble bien ordonné dénombrable E, 
dont aucun élément n'a un rang supérieur aux autres, on peut 
extraire de E une suite d'éléments de rangs toujours croissants, et 
telle que chaque élément de E a un rang inférieur à un élément 
de cette suite. 

Nous en concluons que E peut être obtenu par application du 
second procédé de formation en partant d'ensembles moins éten- 
dus que lui. Considérons en effet l'ensemble A, des éléments de E 
qui ont un rang inférieur à «,, l'ensemble Ao des éléments de 
rang inférieur à «>^, et ainsi de suite. Chacun de ces ensembles est 
moins étendu que E. puisqu'il en est un segment, et le second 
procédé, appliqué à ces ensembles, donne lensemble E. 

En résumé, les trois procédés indiqués suffisent pour nous 
donner tout ensemble bien ordonné dénombrable en partant d'en- 
sembles dénombrables moins étendus que celui-là. 

26. L'analyse précédente nous conduit aux définitions sui- 
vantes : Dans un ensemble bien ordonné dénombrable, nous dis- 
tinguerons deux espèces d'éléments : un élément a est dit àe pre- 
mière espèce si le segment A, déterminé par a, possède un élément 
de rang supérieur à tous les autres. Dans le cas contraire, a est dit 
de seconde espèce. 

Etant donné un élément a de seconde espèce, il est possible, 
d'après ce que nous venons de voir, de former une suite d'éléments 



4o CHAPITBE II. 

de A, tti, a^i . . ., «v? • • • satisfaisant aux conditions 

«I -<N «2 -"<••. -<«v-<(- • -, 

et telle que chaque clément de A ait un rang inférieur à certain 
élément a^. 

L'ensemble E contient des éléments de rang supérieur à tous 
les éléments a^^ et l'un d'eux a un rang inférieur à tous les autres : 
c'est l'élément a. 

Réciproquement, étant donné un ensemble bien ordonné E, 
supposons que l'on considère une suite d'éléments appartenant à 
cet ensemble, telle que 

et supposons que E contienne des éléments ayant un rang supé- 
rieur à tous les éléments a-^. Parmi les éléments ayant cette pro- 
priété, l'un a un rang inférieur à tous les autres. Soit a cet élé- 
ment. Étant donné a' qui a un rang inférieur à a, je dis que a' a 
un rang inférieur à certains a^. Sinon il aurait un rang supérieur 
à tous les «v; et, d'après la définition de a, serait soit identique, 
soit de rang supérieur à a, contrairement à l'hypothèse. 
En résumé, nous avons d'une part une suite d'éléments 

d'autre part un élément a, tels que : i° «v-^a, quel que soit v; 
2° tout élément a' qui a un rang inférieur à a a un rang inférieur 
à certains a^. 

Nous exprimerons ce double fait en disant que a est Vêlement 
limite de l'élément a^^ quand v croît indéfiniment, et que la suite 
a,, «25 ..., «V3 ••• est une suite fondamentale définissant l'élé- 
ment a. 

11 y a lieu d'étudier sous quelles conditions deux suites fonda- 
mentales définissent le même élément limite. Si ces conditions sont 
remplies, les deux suites sont dites équivalentes. 

La condition nécessaire et suffisante pour que deux suites 
soient équivalentes est que, étant donné un élément quelconque 
de Vune, il existe dans l'autre un élément ayant un rang plus 
élevé. 



LES ENSEMBLES BIEN ORDONNES ET LES NOMBRES TRAXSFIMS. Hl 

Considérons deux suites fondamentales 

La condition énoncée est nécessaire, car, si elle n'est pas rem- 
plie, il existe par exemple un élément by- tel qu aucun élément a-, 
n'a un rang supérieur à 6v'. Il n'y a donc aucun élément a^ iden- 
tique à by' (sans quoi nous aurions «v+i^ by) et by' est, par suite, 
de rang supérieur à tous les Oy. Donc by- est, soit identique à a, 
soit de rang supérieur à a. L'élément b, limite de by-, possède, a 
fortiori, un rang supérieur à a. Ce serait l'inverse s'il existait un 
élément Œy tel qu'aucun by- ne lui soit supérieur en rang. 

La condition est suffisante. Car, supposons qu'étant donné un 
élément Ov, il existe un élément by- tel que Oy'-i^by'. 6 a un rang 
supérieur à by-^ par suite à tous les Oy. Il est donc soit identique 
à a, soit de rang supérieur à a. D'après l'hypothèse réciproque, 
a est soit identique, soit de rang supérieur à b. Donc a et b sont 
identiques. 



Y\ . — Les nombres transfinis. 

27. La notion fondamentale qui nous a guidés dans l'étude des 
questions précédentes est celle d'ordre relatif. Nous avons fait 
abstraction de la nature des éléments des ensembles pour nous 
attacher seulement à l'ordre relatif des éléments entre eux. Nous 
allons maintenant introduire des notions et des notations nouvelles 
qui serviront à fixer le rang propre à chaque élément dans les 
ensembles bien ordonnés. 

La théorie élémentaire des nombres entiers met en lumière deux 
ordres de faits importants. Eji premier lieu, si Ion considère un 
assemblage d'objets et si l'on fait abstraction de leur nature pour ne 
voir en eux que des unités identiques entre elles, on est amené à 
la notion de nombre entier. En second lieu, cette notion étant con- 
sidérée comme acquise, on s'occupe, pour la commodité, de donner 
des noms et des représentations aux différents nombres entiers ou 
tout au moins à certains d'entre eux. 

De même, pour les ensembles bien ordonnés, on conçoit qu'il 



42 CHAPITRE II. 

peut être utile, pour fixer la notion de rang dans un tel ensemble, 
d'attacher un terme nouveau à cette notion et de procéder comme 
si tous les éléments d'un ensemble bien ordonné avaient des rangs 
déterminés une fois pour toutes. Or, nous avons vu que les nom- 
bres entiers étaient insuffisants pour remplir ce but ; nous leur 
adjoindrons de nouveaux signes qui seront les nombres trans- 
finis. La notion qui se dégage ainsi de la considération des en- 
sembles bien ordonnés, comme la notion de nombres entiers se 
dégage de la considération d'un assemblage d'objets, est la notion 
de nombre oïdinal Jinl ou transjlni. Nous attribuons aux élé- 
ments d'un ensemble bien ordonné des rangs qui seront les nom- 
bres ordinaux finis et transfînis. D'après cela, ces nombres ordi- 
naux devront être tels que dans un même ensemble bien ordonne 
deux éléments diflerents correspondront à des nombres ordinaux 
différents, le nombre ordinal a qui correspond à l'élément de rang 
inférieur étant considéré comme inférieur au nombre ordinal fj qui 
correspond à l'élément de rang supérieur^, ce que l'on notera : a <; j3. 
Dans deux ensembles bien ordonnés semblables, deux éléments 
homologues devront être considérés comme ayant le même rang, 
c'est-à-dire correspondant au même nombre ordinal. Puisque par 
définition les nombres ordinaux désignent les rangs des éléments 
d'un ensemble bien ordonné, ces nombres constituent eux-mêmes 
un ensemble bien ordonné. 

La notion de nombre ordinal transfini une fois acquise, il y aura 
lieu, dans un but de commodité, de définir une fois pour toutes des 
signes et des termes destinés à désigner les nombres transfînis, 
ou du moins certains d'entre eux. 

28. Parmi les nombres ordinaux doivent figurer les nombres 
entiers positifs, puisqu'un ensemble fini d'éléments rangés dans un 
ordre déterminé est bien ordonné. Suivant les cas, nous ferons 
commencer la suite des nombres entiers à o ou à i . 

Nous dirons que l'ensemble des nombres entiers positifs (avec o 
dans certains cas) forme la classe I des nombres ordinaux. Les 
nombres ordinaux autres que les entiers positifs et nul sont les 
nombres transjinis. 

Occupons-nous des nombres transfinis qui sont nécessaires pour 
définir les rangs des éléments dans les ensembles bien ordonnés 



LES EXSEMBLKS BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBUES TRANSFINIS. 43 

dénombrables. Nous dirons que ces nombres constituent la classe II 
de nombres ordinaux. 

Ainsi le signe (o introduit au Chapitre I est un nombre transfini 
et appartient à la classe II. C'est d'ailleurs le plus petit des 
nombres de la classe II, car dans tout ensemble bien ordonné 
infini pour lequel il existe des éléments autres que ceux qui cor- 
respondent aux entiers i. 2, ..., v, .... celui qui a le rang infé- 
rieur correspond au nombre transfini w. 

Interprétons les résultats relatifs aux ensembles bien ordonnés 
dénondîrables, en particulier la distinction des éléments d'un tel 
ensemble en deux espèces. Ln nombre sera de première espèce 
s'il est défini comme étant le nombre immédiatement supérieur à 
un nombre déjà défini. Nous définirons comme il suit un nombre 
de deuxième espèce : étant donné un système dénombrable A de 
nombres appartenant aux classes I ou II, ce système ne contenant 
pas de nombre plus grand que tous les autres, on crée un nombre 
transfini, qui, par définition, suit immédiatement tous les éléments 
de A. On sait que dans A il est possible de former une suite de 
nombres 

(i) a, <«,<... <«.,<••-, 

cette suite ayant la propriété que tout élément de A est inférieur à 
certains éléments de la suite. Le nombre a que Ton introduit et 
qui est. par définition, le nombre immédiatement supérieure ceux 
delà suite (i) sera appelé nombre limite de a^. Ce nombre appar- 
tient à la classe II ; car il est possible de former un ensemble 
dénombrable et dans lequel les divers éléments correspondent aux 
éléments de A et à a. 

Deux suites de nombres ordinaux telles que (i) ont la même 
limite, sous la condition que pour tout nombre de l'une des suites 
il y ait dans l'autre un nombre supérieur. C est là une conséquence 
immédiate de la proposition analogue relative aux ensembles 
(n"26). 

Etant donné un ensemble dénombrable A de nombres apparte- 
nant aux classes I et II, il existe des nombres de ces mêmes classes 
supérieurs à tous ceux de A. Car, ou bien dans A un certain 
nombre est plus grand que tous les autres; alors, le nombre qui 
suit celui-là répond à la question. Ou bien la condition n'est pas 



44 CHAPITRE II. 

remplie et le procédé précédent permet de former un nouveau 
nombre supérieur à tous ceux de A et qui appartient à la classe II. 
Cette proposition montre que Pensemble des nombres de la 
classe II n^ est pas dénombrable. 

29. Indiquons maintenant les conventions à l'aide desquelles on 
désigne les premiers nombres transfinis ('). 

Après les nombres i, 2, . . ., v, . .. qui constituent la classe I, on 
place w; par définition, ti)>'V, quel que soitv, et 

o) = lim V. 

V =00 

Après co, viennent 

tu -h I , W -<- 2, . . . , tO -+- V , .... 

La limite de cette suite est w x 2 ou co . 2. 

Après oi . 2, on place (0x2+1, . . ., w x 2 + v, ... 

lim (tu X 2 -f- v) = to X 3. 
D'une façon générale, 

lim [w(X l)-(- v] ;:= tO X ).. 

V = 00 

On définit ainsi co X )^ + v, où A et v prennent toutes les valeurs 
possibles. Il n'j a aucun nombre de cet enseml)le supérieur à tous 
les autres. Dans cet ensemble, nous pouvons former une suite fon- 
damentale. Ce sera, par exemple, la suite : 

w, co X ■>-, w X 3, ..., co X X, ..., 

OÙ \ prend toutes les valeurs possibles. Nous désignerons par co- 
la limite de cette suite 

lim w X X = 0)2. 
), = » 



(') Dans la théorie de M. G. Cantor, ces notations résultent de la définition de 
certaines opérations effectuées sur les nombres ordinaux, telles que : addition, 
multiplication, etc. Sans méconnaître l'intérêt de cette théorie, comme nous n'au- 
rons pas à en faire usage et que les nombres transfinis n'interviendront dans nos 
applications que par leurs propriétés d'ordre relatif , nous avons adopté un mode 
d'exposition dans lequel nous ne faisons intervenir que celte notion d'ordre. 



LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFINIS. 4 5 

Après <i)2 nous plaçons 

et nous posons 

liin (aj*-4- v) = w--i- w. 

Puis, à Cl)- + w, nous ajoutons l'unité, etc., et nous posons 

lim ( (I)- -^ oj -i- V ) =r w* -r- co X 2. 
v= » 

Nous définissons en continuant ainsi le nombre (o- -^ to x a -f- v, 
où A et V sont des entiers positifs quelconques. La limite de ces 
nombres, quand A croît indéfiniment, sera désignée par w- X 2. 

Puis, nous considérons des nombres de la forme 

to- X 2 -j- O) X À -i- V 

et nous posons 

lim (a>* X 2 ^ w X À ,1 = oj- X 3. 
).= « 

Nous formerons en continuant ainsi des nombres du type 



et nous noterons 

liiu cj- X X = tu'. 

On formera des polynômes du troisième degré en tu, comme on 
en a formé du second, puis des polynômes de degré quelconque u, 
r soit : 

OÙ les a sont des entiers positifs ou nuls (sauf ao, toujours >»o). 
Pour comparer A à un nombre analogue B : 

co"' 3() ■+- Co^~* 3i — . . . -=- wSv— 1 — Jy. 

et décider quel est le plus grand, on procède ainsi : Si |jl > v, A >> B ; 
si 'JL = V, et si ao >> 3o, A> B ; si jx = v, ao = ,3o, nous comparons 
les termes suivants comme nous avons comparé les premiers. 
Si a, et 3, existent, et si a, > ^3,, A> B; etc. 

Nous pouvons considérer comme définis les nombres transfinis 



46 CHAPITRE II. 

désignés par des polynômes en co. Dans l'ensemble de ces nombres, 
formons la suite fondamentale 

O) < to^ < w^ < . . , < w'- < . . . . 

11 y a lieu de désigner le nombre transfini immédiatement supé- 
rieur à tous ces nombres. Nous poserons 

Avant d'étendre plus loin ces conventions, fixons d'une manière 
précise celles dont nous nous sommes servis. 

Parmi les nombres définis, on a introduit certains nombres wY, 
Y étant un nombre considéré comme déjà défini. Les nombres qui 
se succèdent à partir de ojï sont définis de la façon suivante : 

Après wT, on place des nombres de la forme toï + a, où a prend 
toutes les valeurs inférieures à o)T. Dans l'ensemble (oTH- a, il n'y 
a pas de nombre supérieur à tous les autres. Je désigne par toï x 2 
le nombre immédiatement supérieur à tous ceux-là. J'ajoute à la 
suite tous les nombres coY x 2 + a, ovi a prend toutes les va- 
leurs <; wY. En général, ayant défini wY x À, je considère l'en- 
semble wY xX H- a, où a prend toutes les valeurs inférieures à wY. 
Sa limite sera notée a)Y(), + i). Enfin, je considère l'ensemble de 
tous ces nombres introduits à partir de (oY. Par définition, le 
nombre transfini immédiatement supérieur à tous les nombres 
(oY X )v -h a sera le nombre toY x w que nous écrirons (jl)Y+'. 

Ainsi, après lù'^^ nous introduirons les nombres w"» + a, a pre- 
nant toutes les valeurs inférieures à m^\ puis o)'^ x X + a, À prenant 
toutes les valeurs entières, et enfin o)'^+<. En recommençant cette 
même opération sur w'»>+', nous introduisons successivement les 
nombres co'^+2^ ^ _ _^ o)"+^, . . ., dont les exposants se suivent comme 
les nombres transfinis eux-mêmes. 

Pour achever, si l'on a été conduit à considérer la suite 



ce qui suppose 



(oai<a)^2<. . .<w«v<. . ., 



ai<a2<...<av<..., 



l'élément limite de cette suite, nombre immédiatement supérieur 
aux éléments de la suite, sera noté oj'"»«v. Cette définition est lé-I- 



LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRANSFINIS. 47 

time, car, si nous avons deux suites 

Xi, aj, ..., av, ... 
et 

Q O Q 

(Jl, _J2, . . ., k>v' ... 

définissant le même nombre, tout nombre co='v est inférieur à un 
certain nombre w?v , en prenant av<<,3v'5 et réciproquement; donc 
les suites w^v et (o?v. définissent aussi le même nombre. 

C'est ainsi que, après w'^, nous considérerons le nombre transfini 
désigné par to élevé à une puissance égale à un polvnome quel- 
conque en 10, et la limite de ces nombres sera w*^". 

Remarquons que, chaque fois qu'on introduit une convention 
nouvelle, on ajoute de nouveaux nombres transfinis; mais, chaque 
fois, nous n'en définissons qu'une infinité dénombrable. On a 
appris à définir un ensemble où Ion a la suite fondamentale 



a», wf^, ta^ , . . . , ww ^ _ . , , 

Si l'on veut désigner le nombre transfini limite de cette suite, 
on devra introduire un nouveau signe. En résumé, un svstème de 
conventions étant établi, on peut l'étendre, mais on ne peut pas 
donner un système de notations qui désignerait tous les nombres 
de la classe II. Cela ne nous empêche pas de pouvoir raisonner 
sur les nombres transfinis eux-mêmes, sans savoir tous les noter. 

30. On sait quelle est, en mathématiques, l'importance du pro- 
cédé de démonstration dit de récurrence, qui permet d'affirmer 
qu'une proposition est vraie pour un nombre ?i susceptible de 
prendre toutes les valeurs entières positives, si l'on démontre : 
1° que la proposition est vraie pour les premières valeurs de n\ 
2" que, si elle est vraie pour tous les entiers qui précèdent un 
nombre ii, elle est encore vraie pour Ji. jNous allons, en ce qui 
concerne les nombres des classes I ou II, indiquer un procédé 
analogue. 

Théorème. — Si, dans l'énoncé d'une -proposition, figurée un 
nombre a susceptible de prendre toutes les valeurs des nombres 
des classes I et II, cette proposition sera démontrée pour 
toutes ces valeurs, si Von montre : i° que la proposition est 



4î 



CHAPITRE II. 



vraie pour les premières valeurs de a [pour <x = o ou pour 
a=:i); 2*^ que, si la proposition est démontrée pour tous les 
nombres a' inférieurs à un nombre déterminé a, a étant un 
nombre quelconque des classes 1 ou II, elle est encore vraie 
pour le nombre a. 

En effet, supposons ces deux conditions remplies. Je dis que 
la proposition est vraie pour tous les nombres a des classes I et II. 
Car, si la proposition n'est pas vraie pour tous ces nombres, il en 
est pour lesquels elle n'a pas lieu, et, parmi eux, un plus petit 
que tous les autres, y. y ne peut pas être le premier des nombres 
ordinaux, d'après i". Il y a donc des nombres inférieurs à y et, 
pour tous ces nombres, la propriété est vraie. Donc, d'après 2°, 
elle est vraie pour y, ce qui contredit l'hypothèse. 

Pour démontrer la partie 2° il faudra, dans certaines questions, 
distinguer deux cas, suivant que a sera de première ou de 
deuxième espèce ('). 

31. Donnons quelques notions sur les ensembles bien ordonnés 
non dénombrables. Soit E un tel ensemble. Remarquons d'abord 
que tout ensemble bien ordonné dénombrable F est semblable à 
un segment de E, car E, ensemble non dénombrable, ne peut être 
semblable ni à F, ni à un segment de F. Donc, F est semblable à 
un segment de E. 

Je dis que tout nombre des classes I et II désigne le rang d'un 
certain élément de E. Car, soit a un tel nombre. L'ensemble des 
nombres ■< a constitue un ensemble bien ordonné dénombrable, 
donc est semblable à un certain segment de E; l'élément de E qui 
détermine ce segment a donc pour rang a. 

Supposons que, parmi les éléments de E, il s'en trouve qui déter- 
minent un segment non dénombrable. Parmi ces éléments, il en 
existe un de rang inférieur. Soient a cet élément et A son segment. 
Le segment A est non dénombrable, tandis que si a! est de rang 
inférieur à a, le segment A' de a! est dénombrable. D'après ce que 
l'on vient de voir, A a des éléments correspondant à tous les 
nombres des classes I et II et réciproquement, tout élément de A 



(') Quand a désigne un nombre ordinal de première espèce, nous conviendrons 
de noter le nombre précédent par a — i. 



LES ENSEMBLES BIEN ORDONNÉS ET LES NOMBRES TRAXSFIXIS. 49 

correspond à un nombre de l'une de ces classes. On peut donc dire 
qu'il y a correspondance entre les éléments de A et les nombres 
des classes I et II. 

Par hypothèse, il existe dans E d'autres éléments que ceux de A, 
en particulier a . a est un élément dont le rang doit être considéré 
comme supérieur à tous les nombres des classes I et II, et parmi 
ceux qui jouissent de cette propriété, c'est celui de rang inférieur. 
Il convient de désigner ce rang par un signe qui sera, par défini- 
tion, le premier nombre transfini supérieur à tous ceux de la 
classe II. Nous le désignerons par û ; 12 sera dit le premier nombre 
transfini de la classe III. Pour exprimer qu'un nombre ordinal a 
appartient aux classes I ou II, nous pourrons dire que l'on a a-<0. 



H. B. 



CHAPITRE m. 

LES ENSEMBLES LINÉAIRES. 



1. — Ensembles dérivés cfordre quelconque. 

32. Appliquons aux ensembles de points les notions acquises 
au Chapitre II. 

On a appris (Chapitre I) à former des ensembles de points P 
possédant des ensembles dérivés d'ordres : 



Généralisons la notion d'ensemble dérivé. Étant donné un en- 
semble de points sur un segment de droite, et a étant un nombre 
des classes I ou II, nous allons définir l'ensemble dérivé d'ordre a 
de P, que nous noterons P°'. Pour que la définition s'applique à 
tous les nombres des classes I ou II, il suffit, d'après le procédé 
de récurrence généralisé, que la définition soit donnée pour a= i, 
et qu'étant supposée donnée pour tout nombre a', inférieur à un 
nombre a, elle soit donnée pour a. 

P' a été défini. Pour la seconde condition, distinguons deux 
cas : si a est un nombre de première espèce, c'est-à-dire s'il a un 
précédent, a — i , P=' sera le dérivé de P°'~ ^ . Si a est de seconde 
espèce, il peut être considéré comme la limite d'une suite de 
nombres a, << a2<C • • •< o'-v<C • • •• Je suppose la définition donnée 
pour cliacun de ces nombres. Rappelons qvi'on a 

pa,> pa2>, , ,> pav>. 

Par définition, P°' est l'ensemble des éléments communs à tous 
les ensembles P°'v. Remarquons qu'on peut dire aussi que P'^ est 
l'ensemble des points communs à tous les ensembles P*' pour 
lesquels a'<< a. 

Les ensembles dérivés sont des ensembles fermés. 



LES ENSEMBLES LINÉAIRES. 5l 

La chose est vraie pour P'. Supposons la proposition vraie pour 
tous les nombres iuférieurs à a et étendons-la à a. Si a est de pre- 
mière espèce, P» étant le dérivé de P*~' est fermé. Si a est de 
deuxième espèce, nous savons que l'ensemble des points com- 
muns aux ensembles fermés P^'t, P^i, P^'v, ... est lui-même 

fermé (n° 14). 

33. Montrons que, a étant un nombre quelconque des classes I 
ou II, il existe effectivement des ensembles de points possédant 
des déiivés d'ordre a et, en même temps, des fonctions discon- 
tinues pour lesquelles un tel ensemble est l'ensemble des points 
de discontinuité. 

Ces faits ont été démontrés pour a ^ i . Admettons qu'ils soient 
vrais pour tous les nombres a' inférieurs à un nombre déterminé a, 
et étendons les résultats au nombre a. Supposons d'abord a de 
première espèce. Il existe un nombre a — i qui précède a. Con- 
sidérons une suite de points M,, Mo, . . ., Mh, . . . tendant vers M 
{fig- 1 1)- chacun étant à la droite du précédent. Dans chacun des 

intervalles M, Mo, M2M3, M„M„^,, ..., plaçons un ensemble 

de points pour lequel existe un dérivé d'ordre a — i, ce qu'on sait 
faire par hypothèse. Si l'on considère l'ensemble P de tous les 
points obtenus, il y a, au voisinage du point M. des points de P^~« . 
Donc M est point limite pour P^~'. Donc P^ existe et contient M. 

Si a est de deuxième espèce, il est limite d'une suite de 

nombres a,, ao, .... x, Prenons une suite de points M,, Mo, 

M„, ... tendant vers M {Jig. 11). Dans M, Mo plaçons un en- 
semble de points possédant un dérivé P*', dans M0M3 un ensemble 
possédant un dérivé P^^, et ainsi de suite. On constate que, dans 
le voisinage de M, tous les P^v ont des points. M appartient donc 
à tous les P^'. Donc P=' existe et contient M. 

Considérons maintenant une fonction égale partout à o, sauf 
aux points de l'un ou l'autre des ensembles construits, pour les- 
quels elle est égale à i . Cette fonction admet ces points pour 
points de discontinuité et, par suite, l'ensemble de ses points de 
discontinuité possède un dérivé d'ordre a. 

31. Faisons sur ces ensembles les remarques suivantes : si l'un 
quelconque des ensembles dérivés contient un nombre fini de 



52 cinpiTHK m. 

points, Feusemble suivant est mil. Réciproquement, si l'un des 
dérives est nul, je dis qu'il existe un dérivé qui possède un nombre 
fini de points. En effet, ])armi ceux des dérivés de P qui sont nuls, 
il j en a un dont l'indice est plus petit que tous les autres. Soit a 
cet indice. Je dis que a ne peut pas être un nombre de seconde 

espèce. Sinon, a sei-ait limite d'une suite a,, ao, ..., av, Par 

hypothèse, P^i, P^=, ..., P*', ... contiennent tous des points. 
Donc (n" 13), ils ont des points communs. Donc P^', qui est l'en- 
semble de ces points, n'est pas nul, contrairement à l'hypothèse. 
Donc, a est de première espèce et a un précédent, a — i. P=' étant 
le dérivé de P^~', Y*^~* contient un nombre fini de points ('). 

Étant donnée une fonction f définie sur un segment AB^ si 
l'ensemble P de ses points de discontinuité est tel quun de ses 
ensembles dérivés V'^ se compose d^ un nombre fini de points, 
f est limite de fonctions continues. 

Le théorème est démontré pour a= i ; je le suppose démontré 
pour tout nombre a' inférieur à a. Je vais montrer qu'il est vrai 
pour a. Marquons les points M,, Mo, . . ., M^ dont se compose P^. 

Nous pouvons appliquer le théorème I. Car, dans tout intervalle 
de AB ne contenant aucun de ces points, on a P^= o et il existe, 
d'après ce qui précède, un nombre a' inférieur à a, tel que P^' a 
un nombre fini de points. Donc, dans cet intervalle, f est limite 
de fonctions continues; il en est de même, d'après le théorème I, 
pour l'intervalle entier AB, ce qui démontre la proposition. 



II. — Ensembles parfaits non denses. 

35. Nous avons défini, dans ce qui précède, des ensembles de 
points possédant la propriété suivante : si P est l'un d'eux, les 
dérivés de P sont nuls à partir d'un certain indice, lequel est un 
nombre des classes I ou II. 

Je dis que toute portion A du segment AB contient une portion a 
sur laquelle n'existe aucun point de l'ensemble. Sinon, il existe- 



(') On suppose essentiellement que Tenseinble dont on part est réparti sur un 
segment fini. 



I 



LES EXSKMBLES LINÉAIRES. 53 

rail une portion A de AB telle que toute portion a de ). contînt 
des points de P. Dans cette hypothèse, tous les points de A feraient 

partie du dérivé P' et, par suite, aussi de P- P" P*^ 

et, d une manière générale, de tous les dérivés. Il est impossible 
que l'un de ces dérivés s'annule. 

Cette remarque nous conduit à la définition suivante : nous 
dirons qu'un ensemble de points P est non dense dans le seg- 
ment AB, si toute portion du segment AB contient une portion 
dans laquelle ne se trouve aucun point de P. D'après ce qui pré- 
cède, un ensemble de points qui a un dérivé quelconque nul est 
non dense. 

Voici maintenant une autre remarque. Dans les exemples que 
l'on a construits, aucun des dérivés successifs non nuls de P ne 
coïncide avec son dérivé, car, si ce fait se produisait pour l'un 
d'eux, il se répéterait indéfiniment et tous les dérivés suivants 
coïncideraient avec le premier; donc aucun d'eux ne serait nul. 

36. Etant donné un ensemble fermé P, qui n'est pas identique 
à son dérivé, étudions ceux des points de P qui n'appartiennent 
pas au dérivé. Soit A un de ces points; A n'est pas limite pour P. 
Il existe donc un intervalle fini comprenant A à son intérieur et 
qui ne contient pas de points de P autres que A. Nous dirons que 
A est un point isolé de P. Dans les exemples étudiés précédem- 
ment, chacun des dérivés successifs, à partir de P', contient des 
points qui disparaissent dans le suivant. Par suite, P'^ est moins 
étendu que P', quel que soit v. Et, d'une façon générale, un en- 
semble quelconque est moins étendu que tous ceux qui le pré- 
cèdent. 

Mais il existe aussi des ensembles de points coïncidant avec 
leur dérivé, par exemple l'ensemble des points d'un intervalle AB 
(extrémités comprises). 

On dit qu'un ensemble de points est parfait, s'il coïncide avec 
son dérivé. On voit qu'un ensemble parfait est fermé. On dit 
qu'un ensemble est dense en lui-même si chacun de ses points est 
limite pour l'ensemble. Donc, pour qu'un ensemble soit parfait, 
il faut et il suffit qu'il soit : i" fermé; 2° dense en lui-même. 

37. Nous allons montrer qu'il existe des ensembles parfaits 



54 CHAPITRE III. 

non denses dans tout intervalle et faire une étude détaillée de 
ces ensembles. 

Soit E l'ensemble des points du segment (o, i). Pour définir P, 
je définirai l'ensemble des points de E qui n'appartiennent pas 
à P, ensemble que je désignerai par E — P. Je divise le seg- 
ment (o,i) en trois parties égales par les points 0' o ' et j'exclus les 
points intérieurs au segment médian {fig. 16). Je divise de même 

Fi g. 16. 

1 2 

T 3 1 

I — «^1 — mmMmmm ^m^ — 1 

chacun des deux segments (o, ^^ j et (-, \\ en trois parties égales, 

et j'exclus dans chacun d'eux l'intervalle du milieu. Il reste quatre 
intervalles non exclus; j'opère sur chacun d'eux comme j'ai opéré 
sur le segment (o, i), et ainsi indéfiniment. Par définition, E — P 
sera l'ensemble des points intérieurs aux intervalles exclus. 

Pour étudier la nature des points de P, représentons les abs- 
cisses des points de E dans le système de numération de base 3. 
Dans un tel système, un nombre x^ compris entre o et i , est repré- 
senté par une série de la forme 

«1 a, «:; 

chacun des entiers a étant égal à o, à i ou à 2. 

Les nombres «(, «o, «s, ... se déterminent successivement de la 

laçon suivante : «, est tel que, si 1 on pose x = — , on a : 

Pour ^= ^ ou ^ = 7;, le système (a,, .r,) peut être choisi de 

deux manières distinctes. (L'indétermination n'existerait plus si 
les conditions imposées à Xt étaient o^T, << i •) Dans tous les cas, 
Xf étant obtenu, on procède sur Xt comme sur x. On choisit a^ 

tel que ^, = ^ ,^ ' ' avec o^^To^i, et ainsi de suite. Tant qu'on 

n'obtient pas une quantité Xi nulle, on n'est pas arrêté dans la 
suite des opérations. 



LES ENSEMBLES LINÉAIRES. 55 

Les nombres dont le développement est limité (c'est-à-dire pour 
lesquels les a sont tous nuls à partir d'un certain rang) sont de 

la forme ~ (/> entier). Mais ces nombres sont également suscep- 
tibles d'un autre développement infini. Car on a 



9. •>. -2 

' "^ 3 "^ 32 "^ P 



et par suite on a, par exemple : 

T "~ 3* "^ ■ ' * "^ 3/' ~ T "^ ' ■ ■ ~ P^ "*" 3^+ï "^ P^ — . . . . 

Un nombre x qui n'est pas de la forme ^ est tel que les 

nombres .r,, ^To, ^3, ... sont tous intér'ieurs à l'intervalle (o, i). 
Il n'y a donc jamais d'indétermination en ce qui le concerne. Par 
suite son développement, qui est infini, est unique. 

Dans le procédé de définition de E — P, on a exclu d'abord les 
nombres pour lesquels «, = i , avec o << -T) <! i • A la seconde opé- 
ration, on a exclu les nombres pour lesquels «, = o ou 2, «0=1 
avec o <; -^2 -< I • A la /i"^"'® opération, on a exclu les nombres pour 
lesquels aucun des nombres «,, «7o, .... rt„_). n'est égal à i, 
tandis que «„ ^ i , avec o << JC,, <^ i . 

En résumé, les points exclus sont ceux pour lesquels, quelle 
que soit la représentation dans le système de numération de 
base 3, il existe au moins un chiffre du développement qui est 
égal à I . 

Les points de P sont ceux qui ne satisfont pas à cette condition, 
c'est-à-dire qui sont représentés par un développement dont 
tous les chiffres sont égaux à o ou à 2. (D'ailleurs, certains 
points de P peuvent être représentés par un développement où 
figure le chiffre i. pourvu qu'il y ait un autre développement où 
la condition précédente soit remplie). 

Étudions les propriétés de P. P contient d'abord l'ensemble e des 
points extrêmes de tous les intervalles exclus. Car une extrémité 
d'un intervalle exclu à la /i'^"*' opération est telle que les (n — i) 
premiers chiffres sont tous égaux à o ou à 2, Xn-i étant égal à | pour 
l'extrémité gauche et à § pour l'extrémité droite. Dans le premier 
cas, le développement infini qui ne contient que des 2, et dans le 



56 CHAPITRE III. 



second, le développement fini satisfont à la condition caractéris- 
tique des points de P. 

Je dis que chacun de ces points est limite d'autres points de e. 
En eflet, considérons un point a {Jig. 17) qui soit l'extrémité 



«,. 1 

I om vm.mA — 1 



gauche d'un intervalle exclu à la //'""" opération. Il y a, après 
cette opération, un intervalle dont a est l'extrémité di^oite, et qui 
se trouve conservé. Dans l'opération de rang /i + i, on divise 
cet intervalle en trois autres et l'on exclut celui du milieu. L'extré- 
mité de droite a! de cet intervalle, qui fait partie de <?, se trouve au 
tiers de l'intervalle précédent. Si l'on recommence l'opération 
sur et! a et si l'on continue indéfiniment, on obtient des points 
tendant vers a. a est donc un point limite. Il est limite cV un seul 
côté, du côté opposé à l'intervalle exclu dont il est extrémité. 

Il y a une infinité dénombrable d'intervalles exclus, puisque, 
chaque fois, on en exclut un nombre fini. Donc, l'ensemble e est 
dénombrable. 

Je dis qu'il y a dans P d'autres points que ceux de e, à savoir 
ceux qui sont représentés par un développement infini où chacun 
des nombres ai est égal à o ou à 2, sans qu'il arrive jamais qu'à 
partir d'un certain rang ces nombres soient tous égaux entre eux. 
En efl'el, le développement d'un tel point est unique et aucun 
coefficient n'est égal à i, donc le point ne fait partie ni de E — P, 
ni de e. De plus, quel que soit n, le point en question se trouve, 
après la /i'*™" opération, à l'intérieur d'un intervalle conservé. 

Pour citer un exemple de pareils points, prenons celui dont 
l'abscisse possède un développement où les quantités a^sont alter- 
nativement o et 2. Elle est égale à 

221 

3i + 3X -+-•••= 7 • 

Considérons un de ces points, /. Je dis que / est point limite 
de points de P, et des deux côtés à la fois. En effet, au bout de 

a opérations, la longueur de chaque intervalle conservé est — > 

et les extrémités de ces intervalles sont des points de P. Or, / est 



LES ENSEMBLES LINÉAIRES. 'j-J 

toujours intérieur à Tun de ces intervalles. Donc / est point limite 
pour P et des deux côtés à la fois. 

Enfin, tous les points de P rentrent dans les deux catégories 
examinées. P est donc dense en lui-même. 

Je dis que l'ensemble P est fermé; il suffit de montrer qu'un 
point M qui ne fait pas partie de P ne peut pas être limite pour P. 
En effet, M est intérieur à un intervalle exclu. 11 n'A- a donc pas 
de points de P au voisinage de M. 

En résumé, P est dense en lui-même et fermé. Donc, il est par- 
fait. 

Je dis que P est non dense dans l'intervalle (o, i). Soit en effet 
sur cet intervalle un segment a,3 de longueur À. Au bout de l'opé- 
ration de rang n, si n est suffisamment grand, la longueur — des 

intervalles conservés est inférieure à À. a|5» contient donc une por- 
tion dont tous les points sont exclus. 

Examinons la puissance de l'ensemble P. Considérons l'en- 
semble (/) des points / ou points de seconde espèce de P. Consi- 
dérons d'autre part Tensemble R des points qui restent dans l'in- 
tervalle (o, i) lorsqu'on en retranche l'ensemble A des points dont 

les abscisses sont de la forme --%■ , et écrivons les abscisses des 

points de R dans le système binaire. Les développements seront 
de la forme 



où chaque nombre a est égal à o ou à i, les a n'étant pas tous 
égaux à partir d'un certain rang. 

On peut établir une correspondance biunivoque et réciproque 
entre les points de R et les points l. Il suffit de faire corres- 
pondre à ai = o, a/ = o et à «^ = 2, a,- = i . Donc, les deux en- 
sembles ont même puissance. Or, R a été obtenu en supprimant 
dans le continu E un ensemble A dénombrable. Donc, (^) a la 
même puissance que E. Or, l'ensemble e des points de première 
espèce de P est dénombrable. Donc, P = e -\- l a la puissance 
du continu ( ' ). 



(') Voir E. BoREL, Leçons sur la théorie des fonctions. 



58 CHAPITRE III. 

38. Étudions les propriétés générales des ensembles parfaits 
non denses. Soit P un ensemble parfait non dense dans un 
segment AB{a^a)^b). Je désigne par E l'ensemble des points 
d'abscisse x satisfaisant aux conditions 

Soit M un point de l'ensemble E — P, d'abscisse .^o (Jig- i8). 
P étant parfait, M n'est pas point limite pour P. On pourra 

Fig. i8. 

A M B 

1 1 — ( — I e 



donc trouver un intervalle comprenant M à son intérieur et où 
P n'aura pas de points. Il peut y avoir des points appar- 
tenant à P et d'abscisse inférieure à Xq. L'ensemble de ces abs- 
cisses a une limite supérieure x'. On a x'<:iXo. Le point M' 
d'abscisse x' est un point de P, puisque c'est un point limite de P. 
On reconnaît" de même l'existence d'un point de P, M", dont 
l'abscisse x" est limite inférieure des abscisses des points de P 
supérieures à Xq, dans l'hypothèse où il existe de tels points. En 
résumé, M se trouve intérieur à un certain intervalle M' M" qui a 
la double propriété suivante : i" aucun des points intérieurs au 
segment M'M" ne fait partie de P; 2° les points M' et M" font 
partie de P (sauf peut-être dans le cas où l'un de ces points se 
confond avec A ou avec B). 

Désignons par X les intervalles qui possèdent cette double pro- 
priété. Deux intervalles \ distincts ne peuvent ni empiéter l'un 
sur l'autre, ni même avoir une extrémité commune. F.n effet, s'ils 
avaient une partie commune, une extrémité de l'un serait inté- 
rieure à l'autre. Ce point, étant intérieur à un intervalle )., serait 
distinct de A et de B, et ne ferait pas partie de P; mais cela esl 
contradictoire avec le fait que ce point est extrémité d'un autre 
intervalle \. Les deux intervalles n'ont pas d'extrémité commune, 
car ce point appartiendrait à P et serait isolé, ce qui est impos- 
sible, puisque P est parfait. 

11 ne peut pas y avoir un nombre fini d'intervalles X. Sinon, il 
y aurait, à une unité près, autant d'intervalles dont tous les points 



LES E>'SEyBLES LINÉAIRES. Sg 

feraient partie de P. P ne serait pas un ensemble non dense. Donc, 
les intervalles À sont en nombre infini. 

D'ailleurs leur ensemble est dénomhrable. En effet, ceux d'entre 
eux dont la long^ueur dépasse un nombre positif a sont en nombre 
fini, puisqu'ils n'empiètent pas l'un sur l'autre. Cela étant, consi- 
dérons une suite de nombres positifs a,, a, a,, tendant 

vers o. Prenons les intervalles de longueur supérieure à ai, puis, 
parmi ceux qui restent, ceux de longueur supérieure à ao. et ainsi 
de suite. Chacun des intervalles a se trouve ainsi obtenu, et nous 
pouvons les ranger en une suite correspondant aux nombres 
entiers. 

Enfin, toute portion du segment AB doit contenir au moins une 
portion d'intervalle À, puisque dans toute portion de AB, doivent 
exister des points ne faisant pas partie de P. Nous exprimerons ce 
fait en disant que l'ensemble des intervalles A est partout dense 
dans AB. 

En résumé, si P est un ensemble parfait non dense sur un 
segment de droite, il y a sur ce segment une infinité dénom- 
hrable d^ intervalles constituant un ensemble partout dense 
dans AB, ces intervalles n'ayant deux à deux aucun point 
commun, et P est constitué par les points de AB qui ne sont pas 
intérieurs à ces intervalles. 

39. Réciproquement, supposons que l'on se donne sur AB une 
infinité dénombrable d'intervalles a, formant un ensemble partout 
dense sur AB, et qui n'aient deux à deux aucun point commun. 
Je dis que l'ensemble P des points tels que chacun n'est intérieur 
à aucun de ces intervalles est parfait et non dense. Nous faisons 
la réserve que, si 1 un des points A ou B est extrémité d un inter- 
valle À, nous le considérons comme intérieur à cet intervalle. 

D'abord P est fermé. Car un point qui ne fait pas partie de P 
est intérieur à un intervalle À, et par suite n'est pas point limite 
de P. 

Pour montrer que P est parfait, il reste à montrer que P est 
dense en lui-même, c'est-à-dire qu'un point de P ne peut pas être 
isolé. En effet, si le point K de P était isolé, il serait intérieur à 
un intervalle HI ne contenant de P que le point K. Considérons le 



Go CHAPITRE III. 

segment HK. Les points intérieurs à ce segment ne font pas partie 
de P. K en fait partie. Il existe donc un intervalle X comprenant 
les points intérieurs à HK et ayant K pour extrémité. De même, 
Iv est l'extrémité d'un autre intervalle \ comprenant les points 
intérieurs à Kl. Les deux intervalles À considérés ont donc une 
extrémité conniiune, ce qui est contraire à l'hypothèse. Doik; 
K n'est pas isolé. Donc P est parfait. 

Enfin, P est non dense dans le segment AB, puisque l'ensemble 
des intervalles X est partout dense sur AB. 

Nous dirons que les intervalles X, dont la connaissance équivaut 
à celle de P, sont les intervalles conligus à P. 

Etudions la nature des points de l'ensemble parfait P. Une pre- 
mière catégorie de points est constituée par les extrémités de 
chaque intervalle X. Car un C|uelconque de ces points n'est inté- 
rieur à aucun intervalle \. Je dis qu'il existe d'autres points de P. 
Je montrerai pour cela cpie P n'est pas dénombrable, ce qui 
prouvera en même temps qu'un ensemble parfait n'est pas dénom- 
l)rable. Nous démontrerons d'abord le lemme suivant : 

Etant donné un ensemble parfait P situé sur un segment de 
droite AB, soit aj3 un intervalle de AB contenant à son inté- 
rieur au moins un point de P. Soit, d'autre part, M un point 
déterminé de P. // est possible de trouver un intervalle a([i(, 
de longueur aussi petite que l'on veut, intérieur à a[5, conte- 
nant à son intérieur un point de P et ne contenant pas M. 

En effet, si l'intervalle a[3 contient intérieurement vm point 
de P, il en contient une infinité, puisque ce point est point limite 
pour P. 11 est donc possible de déterminer un point M, de P, 
intérieur à ajS et différent de M. Un tel point peut être entouré 
par un intervalle intérieur à a^ et ne contenant pas M. De plus ou 
peut prendre cet intervalle de longueur avissi petite que l'on veut. 

Cela posé, démontrons que l'ensemhle parfait P n'est pas dé- 
nombrable. 

Si P était dénombrable, nous pourrions ranger ses points en 
une suite M,, Ma, ..., Mv, ..., correspondant à celle des entiers. 
Prenons un intervalle a[S comprenant un point de P à son intérieur. 
11 est possible de trouver à l'intérieur de a.^ un intervalle a, ^, ne 
contenant pas M( et contenant intérieurement des points de P, 



LES KNSEMBLES LINÉAIRES. 6l 

de même, dans ai,3|, un intervalle 7-2^2 ne contenant pas M^ et 
dans les mêmes conditions, et ainsi de suite. On détermine ainsi 
une infinité d'intervalles dont chacun est intérieur au précédent et 
contient des points de P, avec la condition que av3v ne contient 
aucun des points M|, M^, ..., Mv Ajoutons aux conditions pré- 
cédentes la condition que Oy^ tende vers o, en nous astreignant 

par exemple à ce que av,3v<; — !;• Dans ces conditions, il y a un 

point H. limite commune des extrémités des intervalles o^^. 
H est intérieur à tous les intervalles ay^v? et par suite diflerent de 
tous les points My. C'est un point de P puisqu'il en est point 
limite, car, dans tout intervalle contenant H à son intérieur, on 
peut trouver un intervalle aySy et à l'intérieur de celui-ci un point 
de P. Ainsi P contient des points différents de M,, Mo, . . ., My, .... 
ce qui contredit Ihypothèse. Donc l'ensemble parfait P n'est pas 
dénombrable. Il contient donc d'autres points que les extrémités 
des intervalles A. 

En résumé, un ensemble parfait ne peut pas être dénom- 
brable; un ensemble dénombrable ne peut pas être parfait. 

Étant donné un ensemble parfait non dense, rangeons les inter- 
valles contigus eu une suite a,, Ao, . . ., À«. .... Si nous enlevons 
de AB les n premiers intervalles À, la plus grande longueur des 
segments conservés après la /i'^""' opération tend vers o quand /* 
croît indéfiniment. Sinon, elle resterait supérieure à une Ion- 
sueur a, et il existerait dans ce cas sur AB un intervalle de Ion- 
gueur a dans lequel il n'y aurait pas de points exclus. P ne serait 
pas non dense dans cet intervalle. 

On peut se rendre compte dune autre manière de l'existence 
des points de seconde espèce (c'est-à-dire autres que les extrémités 
des intervalles a). Soient^ les extrémités gauches des intervalles a 
et d leurs extrémités droites. D'après les hypothèses faites sur les 
intervalles A. étant donné un point g^ il existe toujours au voisi- 
nage de o^ et à gauche de g^ des points g et d, et pareillement, pour 
un point d donné, il existe à droite d'un tel point, et aussi près de 
lui qu'on veut, des points g et d. 

Ceci posé, à gauche d'un point ^,, prenons un pointe?, {fig- 19)- 
A droite de dx prenons un point 0^2 q"» soit à gauche de gx . Nous 



62 CHAPITRE m. 

pouvons nous assujettir à la condition 

Prenons d.^ à gauche de g2 tel que 

, . difir-i 

d-igi < — ; — > 

et ainsi de suite. On obtient des points »,, c/,, ^27 d^, ..., gm 
dn, •' '1 se succédant de gauche à droite dans l'ordre 

di, di, .... dn, ..., ffn, ..., ff2, g\' 

Les intervalles gndn-, dngn^K tendent vers o. 11 y a donc un point 

-t-M 1 



«7 <iri9n 

limite commun aux points d,i et g,i' C'est un point limite pour P. 
11 fait donc partie de P. Il est de plus limite des deux côtés à la 
fois. Il appartient donc à une espèce différente de celle des points 
g et d. 

40. Pour donner une application de la notion d'ensembles par- 
faits non denses, revenons aux fonctions discontinues. Nous avons 
le théorème suivant : 

Étant donné un ensemble parfait non densel?, la fonction f 
égale à o en tous les points de AB, sauf aux points de P où elle 
est égale à i, est limite de jonctions continues. 

Tous les points de P sont des points de discontinuité puisque, au 
voisinage de chaque point de P, existent des points n'appartenant 
pas à P. 

Je puis supposer que les points A et B sont des points de P. 
Sinon, on remplacerait A et B par les points extrêmes Ai , B^ , de P. 
Si la fonction est limite de fonctions continues sur A,B,, elle le 
sera sur AB. 

Nous allons construire la fonction F(.r, y') correspondant à f 
dans les conditions du n° 5. D'abord, F sera égale à i sur toutes 



LES ENSEMBLES LINEAIBES. 



63 



les parallèles à Oj' menées par les différents points de P, et limi- 
tées {Jig- 20) à la droite y = i, en particulier sur AA| et sur BB,. 
Cela posé, rangeons les intervalles contigus à P en une suite cor- 
respondant aux entiers positifs. Soit C|D, le premier de ces 



Fiî 



A, 



c: p; B , 



0| A Cj Dj c, D, B -^ 

intervalles. Menons les droites C|C, et D,Dj. Dans le rectangle 
C, D|D,Cî, il est possible de construire F en satisfaisant aux 
conditions du problème A (n° o). Car, sur C|D,. y ne présente 
que deux discontinuités. Tune en Ci. 1 autre en D,. Je mène 

ensuite le segment A^Bo d'ordonnée -• J'achève la construction 

de F dans les deux rectangles AoC, G', A, et D, BoB, Dj. en 
donnant partout dans ces rectangles à F la valeur 1 . La fonction F. 
dans toute la région où elle est définie, est continue par rapport 
à l'ensemble des variables. Poursuivons la définition de F. Je 
prends le second intervalle contigu CoDj, et je construis le rec- 
tangle CoD^C^D.^ dont le côté C^D^ est sur AoBj. Les valeurs 
de F à l'intérieur de ce rectangle peuvent, comme pour le rectangle 
C|D,C', Dj. être choisies en satisfaisant aux conditions du pro- 
blème. Soit A3 B3 le segment défini par y=-- Dans les régions 

situées au-dessus de A3B3 et où F n'est pas encore définie, 
donnons-lui la valeur i partout. En poursuivant indéfiniment 
l'application du procédé, la fonction F se trouve définie en tout 
point du rectangle et, pour un point donné, elle est définie après 
un nombre fini d'opérations. Elle est donc continue par rapport 
à l'ensemble (x, y) en chaque point intérieur au rectangle. Quant 
à la continuité de F aux points de Ox par rapport à y, elle est 
réalisée pour les points de P, puisque, sur une parallèle à O^, 
F est constante. Pour les points n'appartenant pas à P, chacun se 
trouve intérieur à un intervalle contigu GvDv C'est à la v'"™* opé- 



64 CHAPITRE m. 

ration que F(x,r) sera définie au voisinage de CvDy, et par con- 
struction elle sera continue en tout point de ce segment par rap- 
port à y. 

Donc /est limite de fonctions continues. 



111. — Etude générale des ensembles fermés. 

\\. Revenons à la théorie des ensembles de points que nous 
allons compléter. Indiquons d abord quelques résultats relatifs 
aux ensembles parfaits quelconques, denses ou non denses. 

Soit P un ensemble parfait réparti sur un segment de droite. 
On a vu (n'' 38) que, sous la seule hypothèse que P est parfait, 
tout point n'appartenant pas à P est intérieur à un certain inter- 
valle dont les extrémités font partie de P ; nous dirons encore que 
ces intervalles sont les intervalles contigiis à P; ils n'empiètent 
pas les uns sur les autres. Il y en a donc ou bien un nombre fini 
ou une infinité dénombrable. 

Désignons maintenant par P un ensemble linéaire quelconque. 
On a défini l'ensemble dérivé d'ordre a. P='. a étant un nombi'e 
des classes I ou II. 

Je dis que si un intervalle AB contient des points de P='. quel 
que soit a, il y a dans cet intervalle des points appartenant à 
tous les P^. En eflet, on reconnaît que, si Ion divise AB en deux 
segments AG, GB, la propriété appartient à l'un au moins de 
ces segments; en répétant le raisonnement, on forme une suite 
de segments possédant la même propriété, et dont chacun est con- 
tenu dans le précédent, et Ion peut faire en sorte que leur longueur 
tende vers o; dans ces conditions, il y a un point qui est commun 
à tous ces segments; ce point est donc limite pour chacun des P^ 
et appartient par suite à chaque P='. Il est naturel de désigner les 
points communs à tous les P^ par P^ ; nous dirons que P^ est le 
dérivé d'ordre Q de P. 

P^ est fermé, puisque c'est lensemble des points communs à 
certains ensembles fermés (n° 14). 

Dans un intervalle qui ne contient aucun point de P^, les P=' 
sont nuls pour cei-tains indices. Car, s'il y avait des points de P=', 



LES ENSEMBLES LINÉAIRES- 63 

quel que soit z, dans lintervalle, il v aurait des points de Pû 
d après une proposition précédente. 

Dans un intervalle CD dont aucun point intérieur ne fait partie 
de Pû. il existe un a<Û tel qu'aucun point intérieur à CD ne fait 
partie de P^'. En eflet. plaçons entre C et D le point E {fig. 21); 



Fig. 2.. 
Cv <^c, 



plaçons entre E et C une suite C,, C.. . . ., G,, . . ., tendant vers C: 

rhacun des intei^aUes C.E. CX, CC,_, se trouve 

dans les conditions précédentes. Pour chacun d'eux existe un 

nombre a, tel que P» est nul dans cet intervalle. Soient z,, z., 

ly. ..., ces nombres. Il existe un nombre des classes I ou II. supé- 
rieur à tous ces nombres. En raisonnant de même sur ED, je vois 
que finalement il existe un nombre z tel que P^' ne possède aucun 
point à V intérieur du seg^ment total CD. 

Je dis que P^ ne peut pas contenir de point isolé. Car, sup- 
posons quun point M de P^ soit isolé; on peut trouver un inter- 
\alle CD contenant M à son intérieur et ne contenant pas de point 
de Pî^ autre que M. 11 existe un nombre J tel que P»' ne contient 
pas de point intérieur à CM. un nombre z" tel que P*' ne contient 
pas de point intérieur à MD. Donc le plus grand z des deux 
nombres est tel que P^^ ne contient pas de point intérieur à CD 
autre que M. Donc M ne fait pas partie de P='+', ni par suite 

• le P^, contrairement à Ihypothèse. 

Donc. Pû, qui est fermé, est aussi dense en lui-même. P^ est un 
ensemble parfait. 

P^ étant un ensemble parfait, il existe un ensemble dinter- 
\ ailes contigus tels que tout point ne faisant pas partie de P^ est 
intérieur à un de ces intervalles. A ces intervalles C,D,. ..., 

C-vDy, .... correspondent des nombres z,. z* 7^ tels que 

"lune façon générale P=^ n"a pas de point intérieur à^CyD^. On peut 
lonc trouver un nombre z tel que P^ n"a de point à l'intérieur 

• I aucun de ces intervalles. P» ne contient pas de points en dehors 
de P^. D'ailleurs P* contient tous les points de P^. Donc il existe 
«les nombres z tels que P='= P^. 

En résumé, étant donné un ensemble P quelconque, ou bien il 
R. B. 5 



66 CHAPITRE III. 

j a des dérivés P=^ nuls, ou bien, si tous les dérivés existent quel 
que soit a, il existe un ensemble parfait 1^^ tel que les ensembles 
dérivés sont identiques à P^ à partir d'une certaine valeur de a. 
Dans le cas où il existe des ensembles déri/és nuls, on peut dire 
que l'ensemble commun à tous les dérivés est nvd. Nous dirons 
que ce cas est caractérisé par P^=o. Ainsi, dans les deux cas 
possibles, il existe toujours certains nombres a tels que l'on a 
P^= P^. Parmi les nombres a qui remplissent cette condition, il 
j en a un plus ])elit que tous les autres. Soit jS ce nombre. On a 
p3^ pû, et pour a <; [i, P='>>P^. PP est identique à son dérivé, 
c'est-à-dire est parfait ou nul, et si a est inférieur à [iJ, P^ contient 
des points qui n'appartiennent pas à Pî^. 

42. Soit P un ensemble linéaire fermé, ({ue nous désignerons 
aussi, pour la symétrie des notations, par P". Étant donné un 
point M quelconque de P", ou bien ce point appartient à tous 
les P"', et alors il appartient à l'ensemble P^, ou bien il ne remplit 
pas cette condition. Examinons ce second cas. Il existe des 
nombres a tels que P* ne contient pas M, Soit y le plus petit de 
ces nombres, y ne peut pas être de deuxième espèce, car, si cela 
était, M faisant partie de tous les dérivés de rang inférieur à y, 
ferait partie de Pt. Donc, v est de première espèce et a un pré- 
cédent ô. M est un point isolé de P^, autrement dit est un point de 
p8_p5+i. Il est évident que ps_ps+i, pû'_p5'+)^ ^i B ^ S', 

n'ont aucun point commun. En effet supposons S <; o'. M, qui est 
isolé dans P^, ne fait pas partie des ensembles qui le suivent, en 
particulier de P^'. On peut résumer ces résultats par la formule 

<i) po== v:(p6_p8+i)^pQ (r: = „, I, ... <i)), 

où prend toutes les valeurs «< Q, ou seulement, si l'on veut, les 
valeurs inférieures à jS, ^ étant le nombre déterminé plus haut. 
Cette formule signifie que tout point de P" appartient, soit à P^-^, 
soit à un ensemble P^ — P2+'. Remarquons enfin que pour toul 
nombre ô inférieur à |3, P^ — P^+i existe effectivement. Car, si 
pS — p8+( était nul, on aurait P2=p2+'. p8 coïncidant avec son 
dérivé, coïnciderait avec tous les ensembles qui le suivent, ce qui 
est impossible, puisque [i est le, plus petit nombre jouissant de 
dette propriété, et que o est inférieur à |îi. 



LES ENSEMBLES LINÉAIRES. 67 

43. Nous allons faire intervenir dans les considérations précé- 
dentes la notion de puissance. 

On dit qu'un ensemble Q de points est isolé si chacun de ses 
points est isolé. 

C'est le cas de chacun des ensembles P^ — P^'. 

Je dis que tout ensemble isolé est dénombrable. En effet, soit M 
un point de Q supposé isolé, il existe un intervalle auquel M est 
intérieur et qui ne contient aucun point de Q autre que M. Autre- 
ment dit, les distances de M aux autres points de Q ont une 
limite inférieure positive 2 u.. J'entoure M d'un intervalle de lon- 
gueur au. dont M soit le milieu, et je procède de même pour tous 
les points de Q. Deux de ces intervalles n'empiéteront certaine- 
ment pas l'un sur l'autre, par suite ces intervalles forment un 
ensemble dénombrable {cf. n" 38). Gomme à chacun correspond 
un seul point de Q, l'ensemble Q est dénombrable. 

Donc, dans la formule (i), chaque terme de la somme - est un 
ensemble dénombrable. Comme cette somme est étendue à une 
infinité dénombrable de termes, li(V^ — P^+') représente un 
ensemble dénombrable de points. D'ailleurs, si l'ensemble parfait 
P^ existe réellement, il n'est pas dénombrable. Donc : 

Un ensemble fermé quelconque ou bien est dénombrable, ou 
bien se compose d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble 
parfait. ^ 

44. On appelle parfois ensemble réductible un ensemble pour 
lequel P^ est nul. Ln ensemble réductible est dénombrable. 

Etant donné un ensemble fermé quelconque P, on a vu que tout 
point ne faisant pas partie de P est intérieur à un intervalle déter- 
miné dont les extrémités seules font partie de P. Xous les appel- 
lerons encore intersralles contigus à P. Deux de ces intervalles 
n'empiètent jamais l'un sur l'autre, mais ils peuvent avoir une 
extrémité commune. Si cette dernière circonstance ne se présente 
pas, l'ensemble est parfait. 

On peut effectivement former des ensembles fermés admettant 
des ensembles dérivés de tous les ordres, j compris P^, et pour 
lesquels P?^P^, 'p étant donné à l'avance. 

Prenons un ensemble parfait Q. Dans chaque intervalle contigu, 
nous plaçons un ensemble fermé réductible avant un dérivé 



08 



CHAPITRE III. 



LES ENSEMBLES LINEAIRES. 



d'ordre ^3, ce dérive contenant des points autres que les points de O. 
On a appris à faire cette opération. Soit P l'ensemble total obtenu. 
P possède un dérivé d'ordre Q, qui est t), et le dérivé d'ordre [j 
contient des points autres que ceux de Q. 

11 est intéressant de remarquer qu'un ensemble dénombrable 
peut avoir pour dérivé un ensemble parfait non dense, ou encore 
un ensemble tel que ceux que l'on vient d'étudier. Par exemple, 
soit Q un ensemble parfait non dense; l'ensemble formé par les 
extrémités des intervalles contigus est dénombrable et a pour dérivé 
l'ensemble O. 



# 



CHAPITRE IV. 

LES FONCTIONS DUNE VARIABLE. 



1. — Définitions générales. 

4o. Les études précédentes sur les ensembles de points nous 
étaient indispensables pour étudier le rôle de la distribution des 
points de discontinuité dans les propriétés des fonctions. Il est 
temps d'introduire des notions nouvelles relatives à la continuité 
et à la discontinuité des fonctions les plus générales, notions qui 
nous permettront, comme on le verra, d'établir les conditions 
nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction discontinue soit 
limite de fonctions continues. 

Nous allons considérer pour le moment des fonctions èi une seule 
variable, et nous les supposerons limitées. 

^ious supposons la fonction f{x) définie pour toutes les valeurs 
de X de l'intervalle («, 6), c'est-à-dire qu'à toute valeur de x 
satisfaisant aux conditions aSx'Sb correspond une valeur de /. 

Soit un intervalle CD pris sur le segment PQ représentatif de la 
variable x {fig. 22). Les valeurs de la fonction aux points de CD 

Fis. 2a. 



forment un ensemble de nombres qui a une limite supérieure 
M(y, CD), une limite inférieure ni{/, CD), enfin une oscillation 

(o(/, CD) = M{/, CD) - m(/, CD). 

Considérons un point A du segment. Entourons A d'un inter- 
valle CD de longueur 20 et ayant son milieu en A. Supposons que 
l'on remplace p par un nombre p' plus petit. CD est remplacé par 



jO CHAPITRE IV. 

un intervalle plus petit. Dans ces conditions, M(CD), que je 
désigne aussi par Mp, ne peut pas augmenter; mp ne peut pas 
diminvier. On a donc 

Mp^Mp', /Wp^/«p', wp2;wp'. 

Donnons à p une suite de valeurs pi, po, ..., p„, ... dé- 
croissantes et tendant vers o. On obtient une suite de limites 
supérieures M donnant lieu aux inégalités 

Mp,^Mp,^...^Mp„i;.... 

Ces nombres tendent vers une limite (qui est, comme l'on sait, 
leur bmite inférieure) que je désigne par M(/, A) et que j'appelle 
le maximum de la fonction f au point A. Etant donné un inter- 
valle quelconque CD comprenant A à son intérieur, on reconnaît 
que, si n est assez grand, l'intervalle de milieu A et de longueur 2 p/j 
est contenu dans CD, d'où résulte 

M(/,GD)iMp„^M(/,A). 

Ainsi M(/, A) est la limite inférieure des nombres M(/, CD)^ 
CD étant un intervalle quelconque contenant M à son intéri-eur. 
Le nombre M(/, A) est caractérisé par la double propriété sui- 
vante : 

1° Quel que soit le nombre e positif, on peut déterminer un in- 
tervalle CD auquel A est intérieur et en tout point duquel on a 

/<M(/,A) + £; 

2° Quel que soit le nombre e positif et quel que soit l'inter- 
valle CD contenant A intérieurement, il existe dans CD un 
point A' tel que l'on a 

/(A')>M(/,A)-£. 

On définit de la même façon m (/, A), minimum de f au point A. 
C'est la limite supérieure des nombres w(/, CD), CD étant un 
intervalle quelconque auquel A est intérieur. On a évidemment 

m(/,A)£M(/,A). 
Car m est au plus égal à /qui est lui-même au plus égal à M. 



LES FONCTIONS d'uNE VARIABLE. 7I 

Dans le cas particulier où y est continue au point A, on a 

M(/.A) = i,i(/,Aj=/(A). 

D'une façon générale, posons 

«(/, A)-= M(/, A)-m(/, A). 

On dira que b) est V oscillation de f au point A. On voit que tù est 
positive ou nulle. La continuité est caractérisée par (.o{f, A) = o. 
Si, en un point A, to est positif, il v a discontinuité en ce point. 

46. Semi-continuité. — Un cas moins particulier que la con- 
tinuité est celui où l'on a seulement 

/^A) = M(/,A). 

Dans le cas général, quel que soit s > o, on peut trouver un inter- 
valle CD tel que, en tout point A' de cet intervalle, on a 

/(;a')<M(/, A)--E. 

Donc, dans cet intervalle, on a dans le cas actuel 

/(;a'.</(A.--e. 

Cette propriété est Tune des deux dont l'ensemble constitue la 
continuité. Nous dirons que /(A) eH semi-continue supérieure- 
ment au point A. 

De même, si Ton a 

/,A)=/n(/, A), 

et par suite, pour toute valeur positive de £, 

/(A')>/(A)-6, 

dans un intervalle convenablement choisi, la fonction est dite semi- 
continue inférieurement au point A. 

Si les deux propriétés ont lieu simultanément, la fonction est 
continue. 

Une fonction sera dite semi-continue supérieurement ou infé- 
rieurement sur un intervalle si elle l'est en tout point de 1 inter- 
valle. 

Ces définitions étant posées, considérons le maximum M(/, A) 



72 CHAPITRE IV. 

d'une fonction quelconque y(A) définie en chaque point du seg- 
ment PQ. M(/, A) est une fonction définie en chaque point de PQ. 
Je désigne cette fonction par w(A). 

Je dis que '^(A) est semi-continue supérieurement. 

En effet, soient A un point de ^Q_{Jiff- 22), s un nombre positif. 
Par définition de M(/', A), il est possible de trouvej- un inter- 
valle CD intérieur à PQ, de milieu A, tel que l'on ait 

M(/,CD)<.\I(/,A) + s. 

Si A' est un point quelconque intérieur à CD, on a, d'après la 
définition de M(/, A'), 

M(/,A')1M(/,GD). 

On déduit de là 

M(/,A')<M(/,A) + ô 
ou 

o(A')<o(A)H-£. 

Cette inégalité exprime la propriété de semi-continuité supé- 
rieure pour C3. 

On montrerait de même que la fonction 

<};(A) = m(/,A) 

est semi-continue inférieurement. 

La somme d'un nombre fini de fonctions semi-continues supé- 
rieurement en un point A est semi-continue supérieurement au 
même point. 

Il suffit de vérifier le théorème dans le cas de deux fonctions 

Par hypothèse, étant donné e >- o, on peut trouver des inter- 

Fis. o3. 



valles C,D,, CaD^, entourant A (Jig. 28), et tels que, suivant 
que le point A' est dans C, D, ou CoD^, on a 

/i(A')</,(A) + E, 



LES FONCTIONS D'CNE VARIABLE. ^3 

Nous pouvons prendre un intervalle fini CD contenu dans cha- 
cun des précédents et contenant A à son intérieur. Pour un point 
quelconque A' de CD. les inégalités précédentes sont vérifiées. On 
a donc 

/,^V)-^/,(A')</,(A)^-/J(A)-^2e, 

ce qui exprime la propriété énoncée. 

Remarquons enfin que si f est semi-continue supérieurement, 
— y est semi-continue inférieurement, car l'inégalité 

/(A')</(A)-i--. 
se transforme en 

-/(A')>-/(A)-£. 

Ceci montre que les propriétés des fonctions semi-continues 
supérieurement et inférieurement se correspondent deux à deux. 
L'oscillation (o(/", A) d^ une fonction f définie sur un seg- 
ment PQ est une /onction semi-continue supérieurement; en 
effet, oi{/, A) est la somme des fonctions M(y, A) et — ni{/. A), 
semi-continues supérieurement. 

Si une fonction / définie sur PQ est semi-continue supérieu- 
rement^ et si a. est un nombre quelconque, l'ensemble des points 
de PO où Ion a 

est ferme. 

En effet, soit A^ un point limite d'une suite de points Ai, Ao. ..., 
A„, .... en chacun desquels on a 

Dans tout intervalle auquel Aq est intérieur, il existe des points de 
la suite A|, Ao, . . ., A„, , donc des points où l'on a 

f^^^ 

Donc, dans un tel intervalle, le maximum de la fonction est 
supérieur ou égal à a. Il en est donc de même de M(/, Aq). Or f 
est semi-continue supérieurement. Donc on a 

M(/, Ao)=/(Ao). 
Donc aussi 

/(Ao)^a. 



CHAPITRE IV. 
/4 



En particulier, étant donnée une fonction /, l'ensemble des 
points où l'oscillation est supérieure ou égale à un nombre posi- 
tif a est un ensemble fermé. 

¥!. Nous allons établir une distinction entre les diverses fonc- 
tions discontinues. 

Supposons, comme premier cas, que la fonction/ jouisse de la 
propriété suivante : quel que soit le nombre s positif, il y a, dans 
tout intervalle de PO, un point au moins où l'oscillation est infé- 
rieure à £. Je vais montrer que, dans cette hypothèse, d existe, 
dans tout intervalle du segment PQ, des points où l'oscillation to 
est nulle. 

Donnons-nous une suite de nombres positifs e,, £0, 



•5 ^/o 



Fig. 24. 

C A A' O 

_, — I . Il» ' I ' ■ 

C, C2 B Dj D, 



tendant vers o. Partons d'un intervalle CD {fig. a/j). Par hypo- 
thèse, il y a dans CD au moins un point A où l'on a 

io(/,A)<ô,. 

Mais w est semi-continue supérieurement. Je puis donc déterminer 
un Intervalle C,D,, contenant V à son intérieur et tel que, pour 
tout point A' de cet intervalle, on ait 

co(/, A'X a)(/, A)-+-£i<'2£i. 

Dans C,D,, je peux, par hypothèse, prendre un point A, tel 

que 

o)(/,A,)<ô2. I 

I 

D'après la semi-continuité de w, je peux, dans cet intervalle, j 
prendre un intervalle Go Do contenu dans C, D,, tel que, pour tout | 

point A' intérieur à Go Do, on ait | 

fi 

W(/, A')<W(/, Ai)-l-£2<2£2. I 

M. 
On peut continuer ce raisonnement. On forme une suite d'inter- 
valles G, D<, Go Do, . . ., G«D«, . . . CQntenus chacun dans le précé- 



LES FONCTIONS D OE VARIABLE. 7» 

j dent et tels que, en tout point A' contenu dans C/iD,,, on a 

a)(/,A')<2s„. 

Chacun des intervalles étant contenu dans le précédent, il j a 
au moins un point commun à tous. Soit B un tel point. L'oscilla- 
tion au point B est inférieure à 2£„, quel que soit n. Donc elle est 

nulle. On a donc 

«(/, B) = o, 

^ ce qui démontre la proposition. 

ï -Ainsi, il y a un ensemble de points, dense dans PQ, tel que, en 

f chacun de ces points, la fonction y est continue. La fonction / est 
dite ponctuellement discontinue. On voit que, pour une telle 
fonction, l'oscillation a son minimum nul dans toute portion 
de PQ et, par suite aussi, en tout point de PQ. Xous savons que 

I l'ensemble des points où l'oscillation d'une fonction est supé- 
rieure ou égale à un nombre positif quelconque î est fermé. Pour 

. une fonction ponctuellement discontinue, d'après la déCnition 
d'une ielle fonction, cet ensemble est non dense. Si la fonction y 

: ne satisfait pas à cette condition, c'est qu'il existe d'une part un 
intervalle AB, d'autre part un nombre positif a tel que, en tout 
point de AB, on a 

Les fonctions de cette nature sont dites totalement discontinues. 

En résumé, une fonction est ponctuellement ou totalement 
discontinue suivant que son oscillation a son minimum partout nul 
ou non. (jVous faisons rentrer le cas d'une fonction continue dans 
le cas des fonctions ponctuellement discontinues.) 

Citons, comme exemple de fonction totalement discontinue, la 
fonction qui, dans le segment (o, i), est égale à zéro pour tous les 
points d'abscisse rationnelle, à un pour les points d'abscisse irça- 
lionnelle. Soit A un point de ce segment. Dans son voisinage, il y 
a des points de chaque espèce. Donc 

M(/, A) = i. m(/,A) = o, w(/,A) = i. 

Comme exemples de fonctions ponctuellement discontinues, on 

peut citer toutes les fonctions étudiées au cours des précédents 

I Chapitres, par exemple les fonctions pour lesquelles l'ensemble des 



76 CHAPITRE IV. 

points de discontinuité est réductible. Car, dans tout intervalle, il 
existe un intervalle ne contenant pas de points de discontinuité. 

Comme autre exemple, considérons la fonction définie comme 
il suit sur le segment (o, i). Pour a? = o, x = ï , 

Pour x = -, 



Pour x = -, X = 7> 
4 4 



f=l 



^-ï 



En général, pour les points .a? = ;4;' '■' ayant une valeur déterminée 
et cette fraction n'étant pas réductible, on pose 

*^ ■?:' 
Pour tous les points dont l'abscisse n'est pas de la forme ^, posons 

/=o. 

Je dis que cette fonction (qui a des points de discontinuité dans 
tout intervalle) est ponctuellement discontinue. 

Car la fonction est continue en chacun des points dont l'ab- 
scisse n'est pas de la forme —^ • En effet, en un tel point A, on a 

f=o. 
Donnons-nous un nombre positif s. Soit v un entier positif tel que 

-<s. 

■.>y 
Nous pouvons prendre un intervalle contenant A et ne contenant 

aucun des points ^, si A^v — i ; en tout point de cet intervalle, 
on aura 

0</<-<£. 

On peut ajouter que / est semi-continue supérieurement. La 
condition est remplie pour le point A considéré, puisque / est 



LES FONCTIONS D ONE VARIABLE. 77 

continue en A. En un point déterminé A.' d'abscisse -^ i on a 

Prenons un intervalle CD contenant A' de longueur inférieure à — • 
En tout point de cet intervalle, on a 

I 



/^:rv 



ï* 



Donc y est semi-continue supérieurement en A'. Elle Test donc en 
tout point du segment (o, i). 

48. Nous allons montrer qu'une fonction semi-continue est 
ponctuellement discontinue. Montrons d'abord que, étant donnée 
une /onction /quelconque définie sur PQ, si l'on désigne par ç> 
la fonction M(y", A), la /onction o — / qui, en chaque point, est 
positive ou nulle, a, en tout point de PQ (et, par suite aussi dans 
toute portion de PQ), son minimum nul. 

En effet, soit A un point de PQ. Soit £ un nombre positif. La 
fonction 3 étant semi-conlinue supérieurement, on peut détermi- 
ner un intervalle CD auquel A est intérieur et tel que, en tout 
point B de CD, on a 

o(B)<=>(A) + £. 

D'autre part, d'après la définition de o(A), aussi près qu'on veut 
de A, il est possible de trouver un point B tel que l'on ait 

/(B)>=>(Ai-£. 

11 existe donc aussi près que l'on veut de A des points B satisfaisant 
simultanément aux deux conditions. Retranchons-les membre à 
membre. Il vient 

Ç(B)— /(B)<2E. 

Comme le point B existe quel que soit s, cette inégalité signifie 
(lue 3 — / di son minimum nul en A. 

On démontrerait le même théorème pour la fonction / — -i, 
y étant la fonction m {/ A>. 

Ceci posé, démontrons la discontinuité ponctuelle d'une fonc- 
tion /semi-continue supérieurement. Ici. les deux fonctions /et z- 



sont identiques. Donc la fonction to égale à o — 'l est ici égale 
à y — 'h. D'après le Icmme précédent, w a son minimum nul en 
tout point. Donc, la fonction/ est ponctuellement discontinue. 

49. Plaçons-nous au point de vue de la répartition des points 
de discontinuité. Nous avons vu, comme conséquence de la défi- 
nition des fonctions ponctuellement discontinues, que, co étanl 
l'oscillation en chaque point d'une telle fonction, c un nombre 
positif quelconque, l'ensemble des points où l'on a (oJ^a est non 
dense, cette propriété ])Ouvant même servir de définition aux 
fonctions ponctuellement discontinues. Soit G l'ensemble de tous 
les points de discontinuité de la fonction considérée. On peut le 
considérer comme engendré de la façon suixante : donnons-nous 
une suite de nombres positifs o-,, cr^? •••? ^«^ ••• tendant vers o. 
Désignons par G« l'ensemble des points de PQ où l'on a co^o-/^. 
Nous définissons ainsi une suite d'ensembles fermés G|, Go, .... 
Grt, ... dont chacun est non dense dans PQ. Je dis que l'en- 
semble G des points de discontinuité est la réunion de tous les 
ensembles G,, Go, . . ., G«, .... En effet, tout point de chacun de 
ces ensembles est un point de discontinuité et, par suite, a])partienl 
à G. Inversement, tout point de G appartient à Tun de ces en 
semblés. Car, étant donné un point A de G, l'oscillation en ce 
point a une certaine valeur positive oj. 11 j a un nombre a-v<<('), 
zV fait partie de G^ 

Nous sommes conduits ainsi à une notion nouvelle sur les en- 
sembles. 

Nous dirons qu'un ensemble est de première catégorie dans un 
intervalle PQ, s'il est constitué parla réunion d'une infinité dénom- 
brable d'ensembles dont chacun est non dense dans PQ. Les en- 
.sembles de points qui ne sont pas de première catégorie sont dits 
de deuxième catégorie. 

Donnons quelques propriétés des ensembles de première caté- 
gorie. 

La réunion dhin nombre fini ou d^une infinité dénombrable 
d' ensembles de première catégorie est de première catégorie. 

Car un ensemble de première catégorie est constitué ])ar une 
infinité dénombrable d'ensembles non denses. Or, la réunion d'une 



LES FONCTIONS d'lNE VARIABLE. 79 

infinité dénombrable d'ensembles dénombrables d'éléments est 
encore un ensemble dénombrable de ces éléments. Donc, la réu- 
nion d'un ensemble dénombrable d'ensembles de première caté- 
gorie constitue une infinité dénombrable d'ensembles non denses. 
C'est donc un ensemble de première catégorie. 

Je dis que si G est un ensemble de première catégorie sur un 
segment PQ, il y a dans toute portion de PQ des points qui 
n'appartiennent pas à G. 

Car G est formé dune infinité dénombrable d ensembles non 

denses d, G2> ..., G^, Soit ah un intervalle pris sur PQ. 

L'ensemble Gi étant non dense dans PQ, il est possible de déter- 
miner dans ah une portion a, 6| ne contenant aucun point de G,. 
De même, dans a, 6,. il est possible de déterminer une portion Go^j 
ne contenant aucun point de Go, et ainsi de suite. Nous formons 

une suite d'intervalles «, 6, «„^„, .... dont cbacun est contenu 

dans le précédent, et tels que a,ih,i ne contient aucun point de G|, 
Go, . . ., G/i- Tl existe un point A appartenant à tous ces intervalles. 
Ce point n'appartient pas à G, puisqu'il ne peut appartenir à 

aucun des ensembles G|. Go G„ La proposition est donc 

démontrée. On voit que l'ensemble E — G des points de PQ qui 
n'appartiennent pas à G est dense sur toute partie de PQ. On \oit 
en outre que l'ensemble E n'est pas de première catégorie par 
rapport à lui-même: il est donc de seconde catégorie, ainsi que 
E — G. 

Tout ensemble dénombrable est de première catégorie. C'est, 
en effet, la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles dont 
chacun est composé d'un élément, et est par suite non dense. 

Proposons-nous de former un ensemble de première catégorie 
qui ne soit pas dénombrable et qui de plus soit dense dans le seg- 
ment (o, i). Nous procéderons de la façon suivante : nous plaçons 
sur (o, i) Tensemble parfait non dense G» dont les points ont des 

abscisses de la forme 2_, ^' les nombres «„ étant tous égaux à ;;e/o 

7Z=0 

ou à deux. Nous considérons les intervalles contigus à G, : dans cha- 
cun de ces intervalles contigus, nous plaçons un ensemble avant par 
rapport à cet intervalle la position de G| par rapport à (o, i). Dési- 
gnons par Go l'ensemble total, y compris G,. On reconnaît que Go 



8o 



CHAPITRE IV. 



esl parfait et non dense. Dans chaque intervalle contigu à Go, opé- 
rons comme dans les intervalles conligus à G|. Soit G3 l'ensemble 
total des points obtenus après cette opération. Nous continuons 
indéfiniment. Soit G l'ensemble constitué parla réunion de G), 
G^, ..., G«, .... L'ensemble G est de première catégorie. Je dis 
(|u'il est dense. Car, pour G,, la plus grande longueur d'un inter- 
valle contigu est -> pour Go, c'est — ; pour G«, c'est — - Cette lon- 
gueur tend donc vers zéro. Donc, pour toute portion de l'inter- 
valle (o, 1), il est possible de trouver 11 assez grand pour que G/j 
y possède des points, ^ensemble G est donc dense. 



II. — Condition nécessaire pour qu' une fonction soit limite 
de fonctions continues. 



50. Nous pouvons maintenant aborder l'étude des conditions 
(pie remplissent les fonctions limites de fonctions continues. Dans 
nos démonstrations nous ferons usage du lemme suivant : 

Lemme. — • Etant donnés un ensemble T de nombres dont 
V oscillation surpasse un nombre positif o,\, et d'autre part un 
nombre a quelconque, on peut trouver dans T un nombre b tel 
t/ue l'on ait \a — b\ >> A. 

l3ésignons les limites supérieure et inférieure de T par M (T) 
et m (T). Par hypothèse, on a 

M(T)— m(T) — 2X>o. 
Ecrivons cette inégalité comme il suit : 

[M(T) — a — X]-^[a — w,(T)— À|>o. 

Les deux nombres entre crochets ont une somme positive, donc 
l'un au moins est positif, et nous pouvons trouver un nombre po- 
sitif £ inférieur à ce nombre. Supposons que ce soit le premier, 
on a 

M(T)-a — X> t. 

D'après la définition de M (T), il existe dans T un nombre b 



LES FONCTIONS d'iNE VARIABLL". g| 

lel que 

*>M(T)-£ 

On a donc, par addition, 

b — « > À. 

Dans l'hypothèse où Ton a 

a — m{T)— 1 > o, 

on trouve de même un nombre 6 de T tel que 

a — 6>)., 

ce qui démontre la proposition. 

ol. Ce lemme étant établi, supposons qu'on ait une suite de 
fonctions continues /,, /î- • • •• /v • • - toutes définies sur un seg- 
ment PQ, et tendant vers une fonction /. Pour simplifier, nous 
supposerons / bornée. Je dis que/ est ponctuellement discon- 
tinue. Je vais montrer que rhvpothèse que/ serait totalement dis- 
continue conduit à une impossibilité. 

En effet, dans cette hypothèse, il existe un segment CD (Jig. 20) 

Fig. 25. 

C, A, Ao D, 



et un nombre positif 2 À. tel qu'en tout point A de CD l'oscilla- 
tion w(/, A) surpasse 2À. Prenons un nombre positif ;jl inférieur 
à ). et posons 



A = a 



t est positif. Prenons un point A» arbitraire de CD. La suite /, (A»), 
/2(Ao), ..., /v(Ao), ... a pour limite /(Ao). D'après cela, on 
peut trouver un nombre entier a tel que 

^0 |/a(Ao)-/(Ao)i<s. 

La fonction /„ est continue sur PQ. On peut donc déterminer 
un intervalle C, D, contenant Ao, contenu dans CD, et tel queu 
lout point A de C, D, on ait 

<^) l/a(A)-/a(Ao)i<E. 

R. B. « 



82 CHAPITRE IV. 

Dans le segment C)D|, l'oscillation de la fonction^ surpasse 2).. 
En vertu du lemme du n" 50, il existe un point A, de G,D( tel 
que l'on a 

(3) |/(A,)-/(A„)1>X. 

La suite /, (A,),/>(A,), ...,/v(.V,), ... tend vers /(A,). On 
|)eut donc déterminer un entier [i> tel que 

(4) |/p(AO-./(A,)|<£. 

La fonction yg est-continue; nous pouvons trouver un inter- 
valle CjDo contenant A,, contenu dans C|D(, et tel que l'on ait, 
en tout point A de C2D2, 

(5) |/p(A)-/p(A.)l<e. 

De plus, tout point A de CoDo satisfait à (:>.). 

En combinant par addition d'une part (i) et (2), d'autre part 

(4) et ( 5 ), il vient 

l/a(A)-/(Ao)l<2£, 
|/p(A)-/(A,)!<'>.s. 
En rapprochant ces deux inégalités de l'inégalité (3), on a 

l/a(A)-/p(A)l>X-4s, 
c'est-à-dire 

(6) l/a(A)-/p(A)I>.^. 

Cette dernière inégalité est valable pour tout point A de CoDo. 

D'autre part, nous sommes partis de la suite/, ,/2, ...,/y, .... 
Mais tous nos raisonnements sont valables, si l'on part de la 
suite /p+\, fp+2i •••• P étant un entier déterminé quelconque, 
et si, d'autre part, on remplace CD par une portion quelconque 
de CD. Donc, quel que soityO, on a pu trouver, dans toute portion 
de CD, une portion CoDo telle que tous les points A de CoD^ 
satisfont à (6), a et p étant certains nombres supérieurs à />, et 
par suite à 

(7) io[/,,+ i(A),y/,^,(A), ...]>[^, 

le premier membre désignant l'oscillation de l'ensemble des 
nombres compris dans le crochet. 



LES FONCTIONS D'xTSE VARIABLE. 83 

Donc, quel que soit p, l'ensemble Gp des points de CD qui ne 
satisfont pas à la condition (-) est non dense dans CD. Donnons 

à p les valeurs i, 2, 3, .... v La réunion des ensembles G|, 

G2, ....Gy, ... constitue un ensemble G de première catégorie 
dans CD. 11 y a des points qui n'appartiennent pas à cet ensemble. 
Soit A un tel point. A ne fait partie d'aucun des ensembles G|, 

G2, • • .. Gv, Donc, il satisfait à l'inégalité (-), quel que soit/>. 

Ceci est en contradiction avec le fait que /,^ (A) a une limite finie 
quand v croit indéfiniment. 

Donc, toute Jonction limite de /onctions continues est une 
/onction ponctuellement discontinue. 

Il est aisé de vérifier que tous les exemples donnés jusqu'ici 
-itisfont à cette condition. Nous pouvons, d'autre part, donner un 
txemple de fonction qui n'est pas limite de fonctions continues. 
Ce sera la fonction égale à zéro en tout point d'abscisse rationnelle 
t't à un en tout point d'abscisse irrationnelle ; car elle est totalement 
discontinue. 



111. — Extension des résultats au cas d'ensembles par/ai ts 

quelconques. 

52. Nous allons donner une extension aux théories qui font 
l'objet des deux sections précédentes, en étendant les notions défi- 
nies en parlant du continu au cas où l'on prend pour base de rai- 
sonnement, au lieu du continu, un ensemble parfait quelcon({ue. 

Nous allons voir que le continu emprunte à sa qualité d'ensemble 
parfait les propriétés essentielles qui nous ont servi dans la plupart 
des raisonnements précédents. 

Considérons une fonction / définie sur un ensemble parfait H 

Fig. 26. 
A 



réparti sur PQ (^g'- 26). Soit aS un intervalle contenant à son inté- 
rieur des points de H. 

Les valeurs de / aux points de H qui sont contenus dans a,3 ont 



OlIAl'ITRK IV. 



une limite supérieure, une Jimite inférieure et une oscillation. 
Nous appellerons ces nombres 

M(/,n,a|i), m(/,ll,a.3,) 

et 

co(/,II,a3)--. M — m. 

Prenons un point A de H. Considérons une suite d'inter- 
valles a, |B,, ao^o? "•■) ^■ii'^ni ■••) dont chacun contient A et est 
contenu dans le précédent, la longueur de a„ |3/, tendant vers zéro 
(|uand n croît indéfiniment, l^e nombre M (/, H, a[i) ne va jamais 
en croissant. Il a donc une limite inférieure qui ne dépend pas de 
la suite des intervalles choisis. Ce nondjre sera appelé le maximum 
de f au point A relalivemeiit à H. Nous le désignerons par 
M(/, H, A). De la même manière, on définit le minimum relative- 
ment à H, m[f, H, A). \J oscillation to(/, H, A) est la différence 
de ces deux nombres. 

A l'aide de ces définitions, nous ])ouvons introduire les notions 
de continuité et de discontinuité aux points de l'ensemble H rela- 
li\ementà cet ensemble. En un point A de H où l'on a (o(y, H, A)=:o, 
nous dirons que f est continue en A relativement à H. Si l'on 
a (0 (y, H, A) >> o, /sera dite discontinue en A relativement à H. 

Si M (y, H, A)=y (A), nous dirons que y est semi-continue 
supérieurement relativement à H ; on reconnaît que, dans ce cas, 
quel que soit le nombre positif e, il est possible de déterminer un 
intervalle a^ auquel A est intérieur et tel que, pour tout point A/ 
de H compris dans ap, on ait /( A') <<y*(A) -|- e; et réciproque- 
ment, si cette condition est remplie, elle entraîne M =/• 

On définit de même la semi-continuité inférieure. 

Si l'on considère, pour une fonction quelconque /, la fonction -o 
('•gale à M (y, H, A) en chaque point A de H, o est semi-continue 
supérieurement sur H. 

Etant donnée une fonction semi-continue supérieurement sur H, 
et telle que son minimum par rapport à H soit égal à zéro en tout 
point de H, dans tout intervalle contenant des points de H, elle 
atteint effectivement la valeur zéro en des points de H. 

Démontrons cette dernière proposition. Donnons-nous iuk; 
suite de nombres positifs S(, So, . . ., s„, . . ., tendant vers o. Nous 
pouvons trouver dans toute portion aîâ (h; PQ {fi g. 27) conte- 



ï 



LES FONCTIONS d'iNE VARIABLE. 85 

nant des points de H, un point A, intérieur à a,3, tel que 

/(A,)<E,. 

En vertu de la semi-continuité supérieure, nous déterminons un 

Fiff. 0-. 



intervalle a, ,3, contenant A, tel que, en tout point A de H contenu 
dans a||3|, on a 

/(A)</( A,. + £,<•>£,. 

De même, dans a,|j,, nous déterminons un point Ao intérieur 
tel que 

et, autour de Ao, un intervalle y..,p.2 contenu dans a, |i, tel que, 
pour tout point A de H contenu dans aa^o? on a 

/(A)</(Aj.)-S,<'2E,. 

et ainsi de suite. On obtient des intervalles successifs a, 3, 

y-n^ni • ••' tels qu'en tout point A de H contenu dans a„p„, on a 
/^(A) -< 2 2,^. Chacun des intervalles étant contenu dans le précé- 
dent, il existe au moins un point de H contenu dans tous ces 
intervalles. En un tel point A Ion a 

/(A)<2c„, 

((uel que soit n. Donc, ./{-^) = o. 

o3. Parmi les fonctions définies sur un ensemble parfait, nous 
pouvons faire les distinctions analogues à celles qui ont été faites 
quand on partait du continu. Il y a lieu de distinguer trois cas : 

Premier cas. — La fonction définie est continue en tout 
point de H. C'est le cas où to est nul en tout point de H. 

Par exemple, une fonction définie sur un segment PQ cl 
continue sur ce segment sera continue par rapport à tout ensemble 
parfait situé sur ce segment. 

Pour donner un autre exemple, prenons l'ensemble parfait H 



86 CHAPITRE IV. 

constitué par les points dont les abscisses sont de la forme 



où an est égal à o ou à 2. Donnons kf en tous les points de H une 
valeur constante, et en dehors de H des valeurs quelconques : 
y sera continue sur H. Nous aurons encore une fonction continue 
si nous partageons H en deux ensembles partiels par un intervalle 
conligu, et si nous donnons à y la valeur o sut l'ensemble de 
droite, et la valeur i sur l'ensemble de gauche. 

Deuxième cas. — Il existe pour/" des points de discontinuité; 
mais, dans tout intervalle contenant des points de H, et quel que 
soit le nombre £ positif, il existe des points de H où l'oscillation 
de y relative à H est inférieure à t. L'oscillation d'une fonction 
étant semi-continue supérieurement, il existe alors, dans tout in- 
tervalle contenant des points de H, certains points de H où cette 
fonction w est nulle, c'est-à-dire des points de continuité de y par 
rapport à H. La fonction est dite ponctuellement discontinue 
sur H. 

Partons de l'ensemble parfait non dense H de l'exemple pré- 
cédent. Aux points -, -5 donnons à f la valeur -; aux points 

. ,j „ Q j 

-, -, -1 -, donnons à /"la valeur — -• Aux points de H dont Tab- 
9 9 9 9 -^' 

scisse est de la forme ,{- (/> et ji étant entiers, et la fraction étant 



irréductible), posons f^ -j^; enfin, en tous les autres points de 

l'ensemble H, donnons à y la valeur o. On reconnaît que chacun 
des points où y>* o est un point de discontinuité, et que dans 
tout intervalle contenant des points A de H, on peut trouver des 
points où w(y, A) soit inférieure à un nombre £ donné à l'avance. 
La fonction est donc ponctuellement discontinue. 

Troisième cas. — La condition précédente n'est pas remplie. 
C'est donc qu'il existe un certain intervalle a^ comprenant des 
points de H et un nombre positif 1, tels cpi'en tout point de H 
contenu dans a^, l'oscillation de H surpasse X. Nous dirons que, 
dans ce cas, la fonction est totalement discontinue. 



LES FONCTIONS DINE VARIABLE. 87 

54. Généralisons les notions relatives aux ensembles. H étant 
un ensemble parfait, et K étant un ensemble contenu dans H, 
deux cas sont possibles : 

i" Dans tout intervalle contenant intérieurement des points 
de H, il existe un intervalle de même nature ne contenant aucun 
point de K. On dit alors que K est non dense dans H; 

2° Il y a un intervalle a contenant intérieurement des points 
de H et tel que tout intervalle de même nature contenu dans A 
contient des points de K. Alors K est partout dense dans la por- 
tion de H contenue dans l'intervalle A. 

Par exemple, l'ensemble des points de H où l'oscillation relative 
à H dune fonction ponctuellement discontinue sur H est supé- 
rieure ou égale à 3->> o, est non dense sur H. Réciproquement, si 
cette condition a lieu quel que soit 7 > o, la fonction est ponc- 
tuellement discontinue. 

Xous sommes conduits à considérer l'ensemble G des points de 
discontinuité dune telle fonction. Soit une suite 3-,, To, . . .. 7„, . .., 
tendant vers o. Si G,, est l'ensemble des points de H où Ton a 
iù^rs„y l'ensemble G est la réunion de tous les ensembles G„. 

Un ensemble contenu dans H est dit de première catégorie 
par rapport à H, s'il est formé par la réunion dune infinité dé- 
nombrable d'ensembles non denses dans H. 

Je dis que si K est un ensemble de première catégorie par rap- 
port à l'ensemble parfait H, il y a, dans tout intervalle contenant à 
son intérieur des points de H, des points de H qui n'appartiennent 
pas à K. 

En effet, soit a^ un intervalle contenant des points de H à sou 
intérieur. Par hypothèse, K est constitué par la réunion dune 
infinité dénombrable d'ensembles K|, Ko .... K„. — , dont cha- 
cun est non dense dans H. On peut trouver dans a^S une portion 
ai ^, contenant à son intérieur au moins un point de H, mais 
aucun point de K|, dans a, ,3|, une portion a2^2 contenant à son 
intérieur au moins un point de H. mais aucun point de Ko, et ainsi 
de suite. On détermine une suite d'intervalles ai ^3,, ..., 's.n'pni •••1 
tels que a^^n est contenu dans a„_i,3rt_|, contient des points 
de H, mais aucun de K„. Il existe un point de H intérieur à tous 



OO CHAPITRE IV. 

ces intervalles. Ce point n'appartient à aucun ensemble K„. Il ne 
fait donc pas partie de K. 

Citons l'exemple suivant d'un ensemble non dense par rapport 
à un autre. Partons de l'ensemble parfait H, constitué par les 

points d'abscisses de la forme V ^, où les nombres a sont égaux 

à o ou à 2. Dans chaque intervalle contigu à H, plaçons un en- 
semble qui soit situé par rapport à cet intervalle comme H l'est 
par rapport au segment (o, i). Soit H, l'ensemble total, qui est 
parfait. Je dis que H est non dense dans H,. En effet, considérons 
lin intervalle contenant à son intérieur des points de H,. Cet in- 
tervalle contient des points de H| qui n'appartiennent pas à H, 
puisqu'il contient des intervalles contigus à H. Or, les points de 
H, n'appartenant pas à H, qui est parfait, ne sont pas limites 
pour H, Je puis donc entourer un de ces points par un intervalle 
ne contenant pas de points de H. H est donc non dense dans H,. 

55. Nous allons généraliser le théorème dans lequel nous avons 
énoncé un caractère nécessaire des fonctions limites de fonctions 
continues. 

*S'/_, sur un ensemble parfait H, se trouvent définies une suite 
de fonctions continues f^^ f 2.^ ...,f,i, ..., tendant vers une 
fonction /, je dis que f est ponctuellement discontinue sur II. 

En effet, tout revient à démontrer l'impossibilité de l'hypothèse 
d'après laquelle y serait totalement discontinue sur II. Dans cette 
hypothèse, il y aurait un certain intervalle CD {fig- 28) contenant 

Fig. 28. 
P C, Cj D2 Dt q 

h 1— t É 1 1 1 1 1- 



C c A, Ao D' D 



à son intéineur des points de H, et un nombre positif 2 A tel que, 
en tout point A de H contenu dans CD, on aurait 

co(/, n, A)>'2X. 
On aurait par suite aussi, pour toute portion CD' de CD contenant 



LES FONCTIONS DUNE VARIABLE. 89 

à son intérieur des points de H, 

coC/, H, G'D')>2X. 
Prenons un nombre positif ;j. inférieur à ). et posons 

À = :x-4- îE. 

Prenons un intervalle arbitraire CD' contenant à son intérieur 
des points de H. Soit Ao un de ces points. La suite /, (Aq), 
/2(Ao), ..., /rt(Ao), ... a pour limite /(Aq). On peut donc trouver 
un nombre a tel que 

(') l/a<;Ao)-/(Ao)|<E. 

La fonction/j^est continue par hypothèse sur l'ensemble parfait H. 
On peut donc, puisque Ao est intérieur à CD', déterminer un 
intervalle G|D, contenant Aq à son intérieur et contenu dans 
CD', et tel que, en tout point A de H contenu dans G, D,, on ait 

<'^) |/a(A)-/a(Ao)I<E. 

Remplaçons G, D, par un intervalle G', D', intérieur à lui, et 
contenant Aq intérieurement. Les valeurs de / aux points de H 
contenus dans G', D', forment un ensemble dont l'oscillation est 
supérieure à 2).. On peut alors, d'après le lemme du n°oO, affirmer 
l'existence d'un point A, de H contenu dans G', D, . tel que l'on a 

(3) |/^Ai;-/(Ao)|>À. 

Gomme/, (A,), /.(A,), ...,/„(A,), ... ont pour limitc/(A), je 
puis déterminer un entier |j tel que Ton ait 

(4J |/3(A,)-/(A0|<s. 

Puis, en vertu de la continuité de fa, en A, qui, étant contenu 
dans G', D', , est intérieur k G( D,, je détermine un intervalle Go Do 
contenant A, intérieurement, contenu dans G,D,, et tel que pour 
tout point A de H contenu dans Go Do, l'on a 

Û) |/?(A)-/p(A,)l<- 

I On lire de ces inégalités les mêmes conséquences qu'au théorème 
du n°oJ , à savoir que. pour tout point A de H contenu dans Go Do, 

on a 

co[/,(A), /.(A), ..., 4(A), ...]>:.L. 



go • CHAPITRE IV. 

D'ailleurs, au lieu de commencer la suite y',, /o, ...,/,i, ... à la 
fonction y"), on peut la commencer à la fonction yy,_j.| . Ue sorte 
que, quel que so'ilp, dans toute portion CD' de CD qui contient 
à son intérieur des points de H, existe une portion Go Do con- 
tenant à son intérieur des points de H, et telle que tout point de H 
contenu dans cette portion satisfait à l'inégalité 

(6) to[/,,+,(A),/,,+,(A). ...|>;x. 

P2n d'autres termes, l'ensemble G« des points de H de l'intervall(? 
CD qui ne satisfont pas à (6) est non dense par rapport à H dans 
l'intervalle CD. Donnons k p toutes les valeurs entières, i, 2, ..., 
V, .... Soit G l'ensemble formé par la réunion de tous les en- 
sembles Gy. G est de première catégorie par rapport à H. Il y a 
donc des points de H qui ne font pas partie de G. Soit A un tel 
point. A satisfait à l'inégalité (6) quel que soity?, ce qui est con- 
tradictoire avec le fait quey„(A) a une limite finie. 

En résumé, si f est limite de fonctions continues^ f est ponc- 
tuellement discontinue sur tout ensemble parfait. 

Citons l'exemple suivant d'une fonction y qui n'est certainement 
pas limite de fonctions continues. Soit H un ensemble parfait non 
dense. On donne à / la valeur o en tous les points, sauf aux extré- 
mités des intervalles contigus à H, où on lui donne la valeur i. 
f est ponctuellement discontinue sur le continu. Mais elle est 
totalement discontinue sur H. Car, en cliaque point de H l'oscil- 
lation est égale à i. La fonction n'est donc pas limite de fonctions 
continues. 



IV. — Recherche de conditions suffisantes. 

56. Nous sommes conduits à nous demander si les conditions 
trouvées pour qu'une fonction soit limite de fonctions continues 
sont suffisantes. La question sera étudiée dans toute sa généralité 
au Chapitre suivant. Dans le présent Chapitre, nous nous conten- 
terons d'étudier le cas particulier d'une fonction f définie sur un 
segment qui sera, par exemple, le segment (o, i ), et qui sera 
partout égale soit à o, soit à i . 



LES FONCTIONS d'oE VARIABLE. 9I 

Remarquons que, H étant un ensemble parfait quelconque, 
comme f ne peut avoir que les valeurs o ou i, les nombres M, 
/w, ti> relatifs k f eX. à H ne peuvent en un point avoir d'autres va- 
leurs que o ou i. En particulier, to étant égal à i en tous les points 
de discontinuité, lensemble de ces points est nécessairement fermé. 
Pour que f soit limite de fonctions continues, il est nécessaire 
que y soit ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait. 

Désignons par Po le continu, et par P, l'ensemble des points de 
discontinuité de / par rapport à P©, ensemble essentiellement 
fermé. Lensemble P,. en chaque point duquel l'oscillation est 
égale à i, doit être non dense dans Po- Dans chaque intervalle 
contigu à P,, la fonction est continue, elle a donc partout la 
valeur o ou partout la valeur i, sauf peut-être aux extrémités de 
l'intervalle. L'ensemble fermé Vx peut avoir des dérivés de tous 
les ordres correspondant aux nombres des classes I et IL II 
possède en ce cas un dérivé Py', qui est parjait. Sur P, , f doit 
être ponctuellement discontinue, c'est-à-dire que, si l'on désigne 
par Po l'ensemble des points de discontinuité de f par rapport 
à P^, Po, qui est fermé, doit être non dense dans P7. Po peut 
avoir un dérivé P?. S'il en est ainsi, nous considérerons l'en- 
semble P3 des points de discontinuité de / par rapport à P^ , 
et ainsi de suite. Avant défini P„, si P^ existe, je désigne par 
P„^, lensemble des points de discontinuité de / par rapport 
à P^. Il est possible que cette opération puisse se prolonger indé- 
finiment. On aura alors une suite d'ensembles Pq, P), — . Pw- •■•■> 
tous fermés, chacun étant contenu dans le précédent. On sait que, 
dans ces conditions, il existe des points communs à tous ces 
ensembles. Nous désignons l'ensemble des points communs à tous 
les ensembles P„ par P^. Nous savons que P^ est fermé. Il peut 
posséder un dérivé d'ordre û. Nous désignons l'ensemble des points 
de discontinuité de y sur P^ par Pw+,. 

Définissons d'une façon générale ce que nous désignons par P^, 
a étant un nombre quelconque des classes I ou IL Supposons que 
la définition de P^ soit donnée pour tous les nombres a' qui pré- 
cèdent un nombre donné a. 

Si a est de première espèce, il a un précédent, a — 1 . Par défi- 
nition, Pa est l'ensemble des points de discontinuité de / par 
rapport à P^-f 



g-î CHAPITRE IV. 

Si a esL de seconde espèce, Pa est, par définilion, l'ensemble 
des points communs à tous les ensembles IV pour lesquels on a 

a' < a. 

Si, dans les nombres a' inférieurs à a, on prend une suite fonda- 
mentale a,, ao, ..., a-v, ..., ayant pour limite a, on peut dire que P^ 
est l'ensemble des points communs aux ensembles P^^, Pa.^ • • • •> 

iv,.... 

57. Il j a lieu d'étudier Jes ensembles ainsi définis. Nous allons 
voir se poursuivre les analogies que l'on a pu remarquer entre 
ces ensembles et les dérivés successifs d'un ensemble donné. Nous 
allons démontrer le théorème général suivant : 

Si l'on a sur un segment de droite des ensembles fermés, 
correspondant aux nombres des classes I ou II, avec la con- 
dition que l' inégalité a << a' entraîne Pa^Pa'? H existe un cer- 
tain nombre ^, à partir duquel les ensembles considérés sont 
tous identiques, c' est-à-dire que V on a 



''^ = i^p+i = i'p+ 



Deux cas seulement sont possibles. Dans un premier cas, cer- 
tains des ensembles P^ sont nuls. Considérons le plus petit nombre 
pour lequel cela a lieu, soit {3. Pp est nul. Donc, tous les ensembles 
suivants sont nuls. Donc, dans ce cas, 

Dans le second cas, quel que soit a, il existe sur le segment 
considéré des points de Pa- On peut démontrer alors qu'il existe 
au moins vin point faisant partie de tous les P^. Pour cela, on 
divise le segment donné en deux parties égales. Comme tous les 
ensembles P^ possèdent cfïectivement des points dans l'intervalle 
total, on en déduit qu'ils possèdent tous des points dans l'un au 
moins des intervalles partiels. On recommence l'opération sur cet 
intervalle et l'on continue indéfiniment. On obtient une suite 
d'intervalles tendant vers un point limite. Ce point est tel qu'il 
existe dans son voisinage des points de P^, quelque soit a. Comme 
chaque P^ est fermé, le point appartient à chaque P». Désignons 
par Pq l'ensemble des points qui font partie de tous les Pa. Pq est 



LES FONCTIONS DINE VARIABLE. ' gS 

fermé, comme ensemble commun à certains ensembles fermés. 

Dans tout intervalle qui ne contient pas de point de Pq, il existe 
un nombre x tel que P^ n"a pas de points dans cet intervalle, sans 
quoi l'intervalle contiendrait des points de tous les P-x. et par suite 
dePû. 

Considérons maintenant un intervalle CD dont aucun point 
intérieur ne fait partie de Pq ; divisons CD en deux intervalles par 
un point K{Jîg. 2 1 , p. 65), puis divisons CE en une infinité dénom- 
brable d'intervalles juxtaposés tendant vers C. Il est possible de 
faire correspondre à chacun de ces intervalles un nombre a,-, 
tel que P-j. soit nul dans cet intervalle. Considérons l'ensemble 
des nombres a/. On peut trouver un nombre a' plus grand que 
tous ceux-là. Pa' sera nul à l'intérieur de CE. Il existe de même 
un ensemble P»- nul à l'intérieur de ED. Soit a le plus grand des 
deux nombres 7/ et a". L'ensemble P^ f ^l «"1 î» l'intérieur de CD. 

L'ensemble Pq étant fermé, il y a une infinité d'intervalles con- 
ligus à Po. Pour chacun de ces intervalles existe, d'après ce qui 
précède, un nombre a/ tel que P^. est nul à l'intérieur de cet inter- 
\alle. Considérons l'ensemble des nombres a,. On peut trouver 
un nombre x supérieur à tous ces nombres. P^ est nul à l'inté- 
rieur de tous les intervalles contigus. Il ne contient donc pas 
d'autres points que ceux de Pq. Comme il contient tous les points 
de Pq, il coïncide avec Po. 

D'ailleurs tous les ensembles qui suivent P^ coïncident avec P^ 
et Pq. Car ils sont contenus dans P^ et contiennent Pq. On 
a donc 

Le théorème se trouve ainsi démontré. 

• Remarquons que. parmi les nombres a tels que P^= Pq, il y en 
a un plus petit que tous les autres. Soit ^S ce nombre. On a 

avec 

Pv>P?, 
si 

P'< 3. 

Si nous ajoutons aux conditions de l'énoncé, celle-ci, qu'un 
point isolé d'un ensemble ne peut pas faire partie du suivant, 
Pq, s'il existe, est parfait. Car. si Pû=P^ contenait un point 



94 CHAPITRE IV. 

isolé A, A ne ferait pas partie de Pp+, = Pq, ce qui est contra- 
dictoire. Donc Pq est dense en lui-même. Comme il est fermé, il 
est parfait. 

En résumé, dans les deux seuls cas possibles, les ensembles Pa 
sont identiques entre eux à partir cVune certaine valeur [j des 
classes I ou II, et V ensemble Pp est nul ou parfait. 

58. Reprenons le cas des ensembles particuliers Pa définis au 
n" 56. Ces ensembles sont fermés et chacun est contenu dans le 
précédent. Soit ^ le plus.petit nombre tel que Ion ait 

P|5 = Pp+i = . . . = Pq. 

Un point isolé de Pa ne fait pas partie de P^" ni, a fortiori, 
de Pa+i- L'ensemble Pp est donc parfait ou nul. Je dis que, 
dans V hypothèse où f est ponctuellement discontinue sur tout 
ensemble parfait, P^ est nul. En effet, si Pp existait effective- 
ment, comme Pp+i = Pp, tout point de Pp+i serait point de discon- 
tinuité relativement à Pj^, f serait totalement discontinue sur cet 
ensemble. 

Soit A un point du continu Po. Puisque Pq=o. A n'appar- 
tient pas à tous les ensembles Pa- Donc certains d'entre eux ne 
contiennent pas A. Parmi ceux-ci, l'un d'eux a un indice plus petit 
cjue tous les autres. Soit o cet indice; o est au moins égal à i. 
ne peut pas être de seconde espèce, car, dans cette hypothèse, 
Pg serait l'ensemble des points communs à tous les ensembles Pa, 
pour a-<o; or, tous ces ensembles contiennent A; donc Pg 
contiendrait aussi A. Donc o n'est pas de seconde espèce. Donc 
a un précédent v. Il existe ainsi un nombre v (pouvant être 
égal à o) tel que Py contient A, Py+i ne le contenant pas. 
Donc A fait partie de Py — Py+i- D'ailleurs, le nombre y est 
évidemment bien déterminé pour chaque point A. Par conséquent, 
nous pouvons écrire 

Po-X(Py-Py4-,), avec o;^Y<.3. 

Considérons maintenant un ensemble de la forme Py — Py+17 on 
Y est inférieur à ^. P^+\ fait partie de Py . On peut écrire 

Py-Py+l=(Py-P^^) + (P^-_Py+.)- 



LES FONCTIONS d'cNB VARIABLE. qS 

Nous pouvons décomposer le premier terme Py — P^. Py étant 
fermé, désignons-le par P^. Nous savons que l'on a (n° 42) 

V prenant toutes les valeurs inférieures à un certain nombre, ou 
même, si 1 on veut, toutes les valeurs <; Q. Nous avons donc 

Py - Py_, = 1 ( P;^ - P^-' ) ^ ( P? - Pv+,). 

En résumé, si l'on considère un point A de Pq. on reconnaît 
qu'il existe, ou bien un système de nombres " et v des classes 1 
ou II, tels que A fait partie de Pv — Pv^', ou bien un nombre -'. 
tel que A fait partie de Py — Py^, . 

59. Ces notions étant acquises, nous pouvons démontrer le 
théorème suivant : 

Si une fonction f égale à o ou à i définie sur un segment 
de droite est ponctuellement discontinue sur tout ensemble 
parfait, elle est limite de fonctions continues sur ce segment. 

Nous avons jusquici ramené le problème de la construction de 
fonctions continues ayant pour limite une fonction donnée à la 
construction d une fonction F {^x, y) définie dans un certain rec- 
tangle et sous certaines conditions. Nous allons donner un nou- 
veau procédé pour construire une suite de fonctions continues^", , 

f, fn tendant vers une fonction discontinuey. Supposons 

ydéfinie sur le segment (o, i). Lafonction /"i sera telle qu'elle variera 

linéairement dans chacun des intervalles (o, -j> (-> ^)-fi variera 
linéairement dans chacun des intervalles o, -: -^ -; -» -; -j i. 

4 4 i > 4 4 

D une façon générale, fa variera linéairement dans chacun des 

intervalles — > ~ -, pour a = o. i, 2 2" — i. La fonction /"« 

'^ ^era parfaitement définie si Ion connaît sa valeur en chaque point 

d'abscisse ^' Elle sera représentée géométriquement par une 

ligne brisée de 2" côtés {fig- 29)- 

Définissons les fonctions /« dans le cas qui nous occupe. 



gfi CHAPITRE IV. 

Tout revicnl à définir /«(H), H élant le point d'abscisse ■^• 
Pour cela, je considère l'intervalle ). de milieu H et de lon- 

Fii;. 29. 




gueur -^^- Considérons les ensembles Py et VZ relatifs à /. Dési- 
gnons par Qy V l'ensemble qui est la partie de Py contenue dans À, 
ce que nous exprimons par l'égalité Qy^v= D(Py, }v). Les en- 
sembles ()y^v sont fermés, ordonnés entre eux comme les en- 
sembles i^^ correspondants, en ce sens qu'on a 

Qy,v^ Qy'.V si 7 > y', 

Qy,v= Qy,v' si v > v'. 

Cela posé, considérons tout d'aboi'd les ensembles Qy,o? où y 
prend toutes les valeurs possibles des classes I ou II. Considérons 
ceux de ces ensembles qui contiennent etïectivement des points. 
Je dis que, parmi ces ensembles, l'un a un indice supérieur à tous 
les autres. En efî'et, à partir d'un certain rang, tous les ensembles 
Py sont nuls. Il est donc certain qu'à partir de ce rang tous les en- 
sembles Qy^o sont nuls. Parmi tous les ensembles Qy^o qui sont 
nuls, l'un a un premier indice plus petit que tous les autres. 
Soit ù cet indice. ne peut pas être de seconde espèce, car, alors, 
Q8,o serait l'ensemble des points de À communs à tous les en- 
sembles P^, pour lesquels y < 0; or, par hypothèse, aucun de ces 
ensembles n'est nul dans X, et l'on sait qu'en pareil cas, \ contient 
des points communs à tous les ensembles P^; donc Qg^o ne sérail 
pas nul. Donc, est de première espèce et a un précédent que je 
désigne par h. Il y a donc un nombre h caractérisé par ce fait 
cjiie Q/^^o existe et que Qa4.),o est nul. 

Considérons maintenant les ensembles Q/^^v, où v peut prendre 
les valeurs des classes I et H et, en outre, la valeur ù. Il peut arri- 
ver que Q/,,Q existe. S'il n'en est pas ainsi, un raisonnement ana- 



FONCTIONS d'une VARIABLE. 97 

logue à celui qui vient d'être fait montre qu'il existe un nombre A" 
plus grand que tous les autres, tel que Qa.a existe. 

Ainsi nous démontrons l'existence de deux nombres, h et A, 
tels que si k est différent de û, Qa.a existe, tandis que Qa.a+i 
n'existe pas, et tels que, si Ton a A" = û, Qa.û existe et Qa^.,^© 
n'existe pas. 

Ceci étant établi, nous prendrons y„ (H) égalait minimum dej^ 
aux points de Qa,a- Vérifions que la suite des fonctions /"i, 

f^, y„, ..., ainsi définie, tend vers y. c'est-à-dire, montrons 

que, quel que soit le point A du segment (o, i), /„{A.) a pour 
limite ^(A). Nous distinguons deux cas. suivant que A fait partie 
d'un ensemble PZ — Pv^', ou d'un ensemble P^ — ^yj-i- 

Premier cas. — A fait partie d'un ensemble Pv — Pv"^'. Cela 
veut dire que A est un point isolé de l'ensemble Py. Autrement 
dit, on peut déterminer un intervalle jo. auquel A est intérieur et 
ne contenant aucun point de Pv autre que A. Dès que n est assez 

grand, les points H d'abscisses ^ entre lesquels se trouve com- 
pris A sont assez rapprochés de A pour que les intervalles a cor- 
respondant à ces points soient entièrement intérieurs à ul. Quand 
ces conditions sont remplies, d'après la définition de Qa.*, je dis 
qu'on a h^" et A=v. En effet, tous les ensembles qui suivent P^ 
n'ont aucun point dans un intervalle A contenant A, puisque Py 
n y possède que le point A. Ce point A constitue d'ailleurs 
1 ensemble Qy.v Donc, à partir d'une certaine valeur de n, on a, 
pour les deux points H comprenant A, 

/„(H,=/(A). 

Donc, comme fn a en A une valeur comprise entre ses valeurs 
pour ces deux points H 

/„(A)=/(A) 

et 

lim/„(A) =/{A). 

Deuxième cas. — Le point A fait partie d'un ensemble 

P- — Pv4.|. P~ est un ensemble parfait, et Py+j est l'ensemble de 

ses points de discontinuité. Donc y" est continue en A par rapport 

à Pv . D'ailleurs, comme_/" est égale à o ou à i, la continuité en A 

R. B. •; 



gS CHAPITRE IV. — LES FONCTIONS d'uNE VARIABLE. 

entraîne la consLance au voisinage. On peut donc déterminer un 
intervalle a contenant A à son intérieur, et tel que, en tout point 
de P? intérieur à tji,/est égale à/(A). Quand n est assez grand, on 

reconnaît comme précédemment qu'aux points H d'abscisses ;^ 

entre lesquels se trouve compris A correspondent des intervalles k 
qui sont tout entiers contenus dans ji.. Dans ces conditions, d'après 
la définition de Qh,h-, on doit prendre h = Y, k = ù; en effet, 
dans un de ces intervalles, Py possède des points sans que Py^, 
en possède. On doit donc prendre 

/„(H)=:m(/,Qy,Q)-/(A), 

en chacun des points H comprenant A. Donc, à partir d'une cer- 
taine valeur de /i, on a encore 

/„(A)=/(A). 

Donc, la suite y, , /"o, ...,//,, ... a pour limite/'. 

Il est ainsi démontré que, pour le cas particulier des fonctions 
égales à o ou I , la condition nécessaire et sujfisanle pour qii' une 
telle jonction soit limite de fonctions continues est quelle soit 
ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait. 



CHAPITRE Y. 

LES FONCTIONS DE n VARIABLES. 



1. — Ensembles de points dans l'espace à n dimensions. 

60. Nous allons maintenant reprendre à un point de vue tout à 
fait général les questions étudiées dans les précédents chapitres, 
en nous plaçant dans le cas des fonctions de plusieurs variables. 

Quand on considère une fonction de n variables. Xi. x-^. .... 
Xrt, on peut dire que rargument de la fonction est un point de 
l'espace à n dimensions. Il y a donc lieu tout d'abord d'étendre 
aux ensembles de points à n dimensions les définitions et les 
théorèmes qui nous ont servi dans le cas des ensembles linéaires. 

Désignons par G» l'espace à n dimensions. Ce sera, par défini- 
tion, l'ensemble des points Xi, x.> x„, chaque variable Xi 

pouvant prendre toutes les valeui's réelles finies. 

Ln point A est dit point limite pour un ensemble de points P, 
si toute sphère de centre A contient au moins un point de P dif- 
férent de A. autrement dit, contient une infinité de points de P. 
Etant donné un ensemble P. soit P' l'ensemble des points limites 
de P. P' est appelé l'ensemble dérivé de P. Un ensemble est dit 
fermé s'il contient tous ses points limites. Un ensemble dérivé 
est fermé. On dit qu'un ensemble est dense en lui-même si cha- 
cun de ses points est un point limite pour cet ensemble. On dit 
qu'un ensemble est par/ait s'il coïncide avec son dérivé, c'est- 
à-dire, s'il est fermé et dense en lui-même. 

Par exemple, dans l'espace Go, on constate que l ensemble des 
points situés à l'intérieur et sur le contour d'un cercle est un en- 
semble parfait. L'ensemble des points intérieurs au même cercle 
n'est pas parfait, parce qu'il n'est pas fermé. Mais il est dense en 
lui-même. 



lOO CHAPITRE V. 

L'ensemble des points d'un segment de droite situé dans l'es- 
pace Go est parfait. 

Citons, toujours dans l'espace Go, l'exemple suivant d'ensemble 
parfait. Considérons sur Ox un ensemble parfait non dense H^ 
svir Oy un ensemble parfait non dense K. Par les points de H, 
menons des parallèles à Oy, par les points de K, menons des 
parallèles k Ox. L'ensemble des points de rencontre des droites 
ainsi menées est un ensemble parfait. 

Un autre exemple d'ensemble parfait dans l'espace Go est celui 
des segments parallèles* à Oy de longueur i , et ayant leurs ori- 
gines sur O^ aux points de H. 

Comme dans le cas des ensembles linéaires (n" 14), on reconnaît 
que Venseînble commun à des ensembles fermés {en nombre 
fini ou infini), s^ il existe, est fermé. 

Un ensemble à n dimensions, borné et contenant une infinité 
de points, a au moins un point limite, l^a démonstration se fait 
comme pour le théorème analogue relatif aux ensembles linéaires 
(n** 10). La subdivision en segments est remplacée par une subdi- 
vision en parallélépipèdes tendant vers un point qui est point 
limite de l'ensemble. 

Si Von a des ensembles fermés P,, Po, . . ., Pv: • • ••, ^cls que : 
Pi^P,i...lPv>... 

et si P) est borné, il y a au moins un point commun à ces 
ensembles. 

Cette proposition se démontre également en suivant la méthode 
employée pour la proposition analogue relative aux ensembles 
linéaires (n" 13), mais remplaçant la subdivision en segments par 
une svibdivision en parallélépipèdes. 

Si l'on ne suppose pas les ensembles bornés, la conclusion ne 
subsiste pas. Par exemple, si Pv est l'ensemble linéaire des points 
dont l'abscisse est un des nombres v, v + i , v + 2, . . ., on a 

Pv est fermé (il n'a pas de points limites), et cependant il n'y a 
pas de point commun à tous ces ensembles. 



LES FONCTIONS DE n VARIABLES. lOI 

61. Xous allons étendre au cas de l'espace à n dimensions le 
théorème du n° 37 et, pour cela, nous étudierons tout d'abord un 
nouveau procédé pour définir un ensemble fermé donné. 

Soit B un point dont les n coordonnées sont de la forme 

Xi= , 

2/' 

a/ étant un nombre entier. Considérons le cube A de côtés paral- 
lèles aux axes, ayant pour centre B et pour côté — —• Les points 
intérieurs à ce domaine sont ceux pour lesquels on a 

2;— [ . ^ ■Xi— I 



■±l' ^ ■ ^ -11' 

Les points du domaine sont ceux pour lesquels on a 



■J.I' 



Étant donné un point quelconque A et un nombre p, on peut 
trouver un cube de l'espèce précédente auquel A soit intérieur. 
(On peut même en général en trouver plusieurs.) 

Faisons varier l'entier p en lui donnant toutes les valeurs en- 
tières positives. Désignons par (A) l'ensemble de tous les domaines 
ainsi obtenus. Les paramètres de l'élément le plus général de l'en- 
semble (A) sont les entiers /?. a,, a^ a„. On en déduit que 

l'ensemble (A) se compose d'une infinité dénombrable de do- 
maines. 

Indiquons une propriété de ces domaines qui est fondamentale 
pour la suite. Soient A un point quelconque, S une sphère de 
centre A. On peut trouver un domaine A auquel A est intérieur 
et qui est tout entier contenu dans 2]. Car, quel que soit />, on 
peut trouver des domaines A contenant A intérieurement et, 
quand p croît indéfiniment, la plus grande dimension de ces 
domaines tend vei's o. 

Soit, dans l'espace G,,, un ensemble ye^/?^e P, absolument quel- 
conque. Considérons les domaines A. Nous dirons qu'un do- 
maine A est extérieur à P s'il ne contient aucun point de P. Nous 
distinguons ainsi les domaines A en domaines extérieurs à P, et 
domaines contenant au moins un point de P. • 



102 CHAPITRE V. 

Je dis que la connaissance des domaines extérieurs à P est 
complètement éqim'aleiite à celle de P. D'abord, si P a été défini, 
on sait par cela même quels sont les domaines A extérieurs à P. 
Il nous suffît de montrer la réciproque. Je vais montrer que, si 
l'on connaît tous les domaines extérieurs à P, étant donné un 
point A quelconque, on peut dire si, oui ou non, il appartient 
à P. En effet, en vertu d'une remarque faite plus haut, nous pou- 
vons trouver une suite de domaines A, soit A,, Aj, ..., A^,, ..., 
auxquels A est intérieur, dont le côté tend vers o et dont chacun 
est contenu dans le précédent. Deux cas seulement sont possibles : 

1° Chacun des domaines A,, Aj, . . ., A^,, . . . contient au moins 
un point de P. Dans ces conditions, il y a, dans toute sphère de 
centre A, au moins un point de P; P étant fermé, A fait partie 
de P. 

2" Certains de ces domaines ne contiennent pas de points de P. 
Remarquons que, si la condition est remplie pour un domaine, 
elle est remplie pour les suivants. On peut dire que A est intérieur 
à un domaine fini ne contenant aucun point de P. Donc A ne fait 
pas partie de P. 

Remarquons que ce procédé démontre que la définition d'un 
ensemble fermé peut se faire par une infinité dénombrable de 
conditions. 

Désignons par G„ — P l'ensemble des points de l'espace G„ qui 
n'appartiennent pas à P. G,, — P peut être considéré comme 
constitué par la. réunion de tous les domaines (A) extérieurs 
à P. Car chaque point appartenant à un de ces domaines fait cer- 
tainement partie de G« — P et, étant donné un point A qui ne fait 
pas partie de P, il existe des domaines (A) extérieurs à P et con- 
tenant ce point. 

Si l'on a deux ensembles fermés P et Q, P contenant Q, il est 
évident que tout domaine extérieur à P est, a fortiori, extérieur 
à Q. De plus, si nous supposons que l'on a P >> Q (égalité exclue), 
il y a certainement des domaines qui sont extérieurs à Q sans être 
extérieurs à P. Car, sans cela, il y aurait identité entre les domaines 
extérieurs à P et Q et, par suite, identité entre P et Q. 

62. Considérons maintenant des ensembles fermés correspon- 



LES FONCTIONS DE n VARIABLES. Io5 

dant aux nombres des classes I et II, 

Poi Pt» Pîi - • -» Pa? • • •» 

avec la condition que rinégalité a << 3c' entraîne P^l^ P^ . Dune 
façon générale, désignons par A£(Pa) l'ensemble des domaines A 
extérieurs à P^. Remarquons que Ae(P2^,) contient tous les élé- 
ments de A£(Pjx). De plus, la condition nécessaire et suffisante 
pour que AE(Pa+i) soit identique à A£(Pgt) est 

Je désigne par G(Pa) l'ensemble des domaines qui appartiennent 
à A£(P3t^i) sans appartenir à AgfPx). Cela posé, considérons la 

suite 

C(Po), C(P,), ..., C(Pa), 

Chacune de ces expressions désigne l'ensemble de certains do- 
maines A. Deux quelconques de ces ensembles n'ont aucun élé- 
ment commun, car un élément de C(P3t) fait partie de A£(P3t4.i), 
par suite de A£(P3t_).2)7 et généralement de Ap^'Pa». quelque soit a' 
supérieur à a; donc il ne fait pas partie de C(Pa-f-i), ni d'aucun 
des ensembles qui suivent C(Pa). Donc deux ensembles C(Pa) 
différents n'ont aucun élément commun. 

Les différents ensembles C(Pa) sont des parties de l'ensemble (A), 
qui contient une infinité dénombrable d'éléments, et ils n'ont, 
deux à deux, aucun élément commun. Donc ceux des ensembles 
C(Pa) qui ne sont pas nuls forment au plus une infinité dénom- 
brable. D'après la définition des nombres des classes I et II, il y a 
certainement un nombre 3 supérieur à tous les nombres a pour 
lesquels C( Pa) n'est pas nul. C^^P^ ) et tous les ensembles suivants 
sont donc nuls. Or, si l'on a 

g(P3,) = C(:p^, ) = ... = G, 

on a vu que l'on en conclut 

P.S = P?-i = • • . . 

Désignons par Pq l'ensemble commun à tous les P^. La propo- 
sition obtenue peut s'exprimer ainsi : ' 

Il y a certains nombres a des classes I et 11 tels que Von a 

Pa=Pû. 



I04 ClIAPITRK V. 

63. Nous compléterons ce résultat par les remarques sui- 
vantes : 

Remarque 1. — Supposons que les ensembles donnés Po, Pi, ... 
satisfassent à la condition suivante : pour tout nombre a de seconde 
espèce, P^ est l'ensemble commun à tous les ensembles Pa' de rang- 
inférieur à a. 

Dans ces conditions, considérons un point qvielconque A de P„. 
Deux cas sont possibles : ou bien A. appartient à tous les en- 
sembles Pa et, par suite, -à Pq; ou bien cette condition n'est pas 
remplie. Alors certains des ensembles P^ ne contiennent pas A. 
L'un d'eux a un indice plus petit que tous les autres. Soit 3 cet 
indice. Je dis que 8 n'est pas de seconde espèce, car A appartient 
à tous les ensembles pour lesquels on a a -< o. Donc, si S était de 
seconde espèce, A appartiendrait à Pg. Donc o est de première 
espèce et a un précédent y. A appartient à Py — Py+i- On a donc 
l'égalité 

Y prenant toutes les valeurs des nombres des classes I et II 
(ou encore les valeurs -< f^, si ^ est le plus petit nombre tel 
que Pp= Pq). 

Remarque II. — Si, outre la condition précédente, on a 

et si Po est borné, le plus petit nombre o tel qvie l'on ait 

Pg = Pq = o 

ne peut pas être de seconde espèce. 

Car alors serait limite d'une suite o,, o^, ..., o„i ■■■ avec 
o„<; 8. Or les ensembles Pg^, Pg , . . ., Pg , . . . qui sont fermés et 
bornés et dont aucun n'est nul, ont des points communs. Donc 
Pg ne serait pas nul. Donc o est de première espèce. Il a un pré- 
cédent y. En résumé, il existe un nombre ^^ tel que Py contient 
des points, Py^, étant nul. 

Remarque 111. — Supposons que les ensembles donnés satis- 



LES FONCTIONS DE n VARIABLES. Io5 

fassent à la condition qu'un point isolé d\in ensemble ne fait 
pas partie du suivant. Dans ces conditions, je dis que, si Pq 
n'est pas nul, il est parfait. En effet, nous savons déjà que Pq 
est fermé, puisqu'il est identique à P^ à partir d'un certain rang. 
Il suffit de montrer que Pq ne contient pas de point isolé. Soit A 
un point qui serait isolé dans Pq : A est isolé dans Pp, donc il ne 
peut pas faire partie de P^i, donc il n'appartient pas à Pq. 
Donc Pq est parfait. 

64-. Les considérations précédentes s'appliquent aux ensembles 
dérivés d'un ensemble donné P. On définit les ensembles dérivés P» 
comme on Ta fait pour les ensembles linéaires. Ces ensembles, 
à partir de P', satisfont aux conditions de l'énoncé du théorème 
général du n" 62 et aussi aux conditions complémentaires des 
remarques I et III. Donc les ensembles dérivés sont tous identiques 
entre eux à partir d'un certain rang. De plus, l'ensemble dérivé 
d'ordre û, s'il existe, est parfait. En supposant P fermé, et 
posant P" =: P, on a 



-2 



(Pv_pr.-1, 



D'après la remarque II, on voit que si, dans un domaine borné, 
P^ est nul, il y a un nombre y tel que Pt existe dans ce domaine, 
tandis que Pt+' est nul. Le nombre y est tel que Pï possède un 
nombre fini de points dans le domaine considéré. 

6o. Nous allons donner maintenant quelques définitions relatives 
aux ensembles parfaits et qui s'appliqueront en particulier au 
continu. 

Soit P un ensemble parfait dans l'espace à n dimensions G«. 
Soient A un point de P et Z une sphère à laquelle A est intérieur. 
Nous savons qu il v a dans - une infinité de points de P. Nous 
dirons que l'ensemble des points de P contenus dans - est la 
portion de P déterminée par S. 

Nous dirons que Q, ensemble contenu dans P, est non dense 
dans P si, dans toute portion de P, il existe une autre portion 
de P ne contenant aucun point de Q. Si cette condition n'est 
pas remplie, il existe une portion II de P telle que toute portion 



lo6 CIIAPITRK V. 

de n contient des points de Q, et, par suite, telle que Q' contient 
tous les points de II ; dans ce cas, Q est partout dense dans H. 

Étant donné un ensemble Q, on dit que Q est de première ca- 
tégorie dans P si Q est formé par la réunion d'une infinité dénom- 
brable d'ensembles non denses dans P. Un ensemble qui n'est pas 
de première catégorie sera dit de seconde catégorie. 

Je dis que, sii) est de première catégorie dans P, // existe des 
points de P n'appartenant pas à Q. Soient Q,, Qo, . . ., Q«, • . . 
les ensembles non denses dans P dont Q est la réunion. Soit S une 
sphère contenant à son- intérieur des points de P. On peut déter- 
miner dans S une sphère S, contenant des points de P à son intérieur 
et ne contenant aucun point de Q, ; dans S,, une sphère S2 con- 
tenant intérieurement des points de P et ne contenant aucun point 
de Qo. En poursuivant le raisonnement indéfiniment et s'astreignant 
de plus à ce que les rayons des sphères tendent vers o, on obtient 
un point limite B contenu dans toutes les sphères S,^ ; B est limite 
pour P; donc il fait partie de P. De plus, B n'appartient à aucun 
des ensembles i),,. Donc B n'appartient pas à Q. 

II. — Conditions nécessaires. 

66. Nous allons étendre au cas de plusieurs variables les 
définitions données pour les fonctions d'une variable (Chap. IV,, 
section ï). Nous considérerons tout de suite des fonctions définies 
sur des ensembles parfaits quelconques. Nos définitions s'appli- 
queront en particulier au continu. 

Soit une fonction /" définie sur l'ensemble parfait P situé dans G«. 
Considérons une portion H de P. f a, aux diflerents points de O, 
des valeurs qui forment un ensemble pour lequel existent une 
limite supérieure, une limite inférieure et une oscillation que nous 
désignons par M(/, II), m(/, II), w(./'. II). 

Prenons un point A de P. Entourons A d'une sphère ayant son 
centre en A. Soit II la portion de P déterminée par S. Quand le 
rayon de S décroît et tend vers o, M(/, H) ne va pas en croissant, 
m (y, II) ne va pas en décroissant, co(/', H) ne va pas en crois- 
sant. Donc ces trois quantités ont des limites que nous noterons 

M(/, P,A), m(/, P,A), co(/,P, A). 



N 



LES FONCTIONS DE n VARIABLES. lOJ 

On dira qu'il y a continuité au point A si Ton a 

W =: G, 

el discontinuité si Ion a 

w > o. 

Si n est la portion de P déterminée par une sphère quelconque 
S contenant A à son intérieur, on a 

M(/, P,A)<M(/,n). 

On dit qu'il y a semi-continuité supérieure de f par rapport 
à P au point A si l'on a en ce point 

M(/,P,A)=/(A). 

Dans ce cas, quel que soit le nombre positif s. on peut trouver 
une sphère de centre A, et telle que, quel que soit le point A' de P. 
contenu dans cette sphère, on ail 

/(A')</(A)^E. 

et réciproquement, si cette condition est vérifiée, on a 

M=/, 

et la fonction est semi-continue supérieurement. 

On a une définition et des propriétés analogues pour les fonc- 
tions semi-continues inférieurement. Etant donnée une fonction f 
quelconque définie sur l'ensemble P, la fonction '^ définie en 
chaque point A de P comme étant égale à M(y, P, A), est semi - 
continue supérieurement: et de même la fonction -i ^ ni( f, P, A) 
est semi-continue inférieurement. Il s'ensuit que to ^ M — m est 
une fonction semi-continue supérieurement. 

Etant donnée une fonction semi-continue supérieurement, l'en- 
semble des points où elle est supérieure ou égale à un nombre a 
est fermé. En particulier, si Ton considère une fonction f quel- 
conque, l'ensemble des points où l'oscillation de f est supérieure 
ou égale à a > o est fermé. 

67. Etant donnée une fonction f définie sur un ensemble par- 
fait P, trois cas sont possibles. 



I08 CHAPITRE V. 

1° En tout point de P, on a 

w = o. 

La fonction est continue sur P. 

1° En certains points on a w>-o. Il y a des discontinuités. 
Mais on suppose que, quel que soit le nombre positif a-, l'ensemble 
des points de P où l'on a 

cof/, P,A)^a 

est non dense sur P. Alors, en se donnant des valeurs o-j , o-^, ..., t,^, ... 
tendant vers o, on voit que l'ensemble des points de discontinuité 
est la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles non denses. 
Donc, cet ensemble est de première catégorie. H y a donc dans 
toute portion de P des points qui n'appartiennent pas à cet en- 
semble et où par suite /" est continue. 

On dit, dans ce cas, (|ue f est ponctuellement discontinue 
sur P. 

3" La fonction /", discontinue sur P, n'est pas ponctuellement 
discontinue. Il existe donc d'une part un nombre a positif , d'autre 
part une portion II de P, telle qu'en chaque point de II, on a (o ^ a. 
Nous dirons que la fonction y est totalement discontinue sur P. 

68. Je dis que si Von a, sur un ensemble parfait P, une suite 
de fonctions continues f\^ /"o, . . ., f,i^ . . ■ ayant pour limite une 
fonction f, f est ponctuellement discontinue sur P. (Nous sup- 
posons la fonction y bornée.) 

Nous employons tovij ours le même mode de raisonnement. Mon- 
trons qu'il est impossible d'admettre que f est totalement discon- 
tinue sur P, autrement dit qu'il existe une portion H de P et un 
nombre positif aX, tels que, en tout point de H, Toscillation de/" sur- 
passe aX. Dans cette hypothèse, l'oscillation dans toute portion 
de H est supérieure à 2)^. Je prends un nombre tx positif inférieur 
à X. Je pose X = [jl -f- 4 £• 

Donnons-nous un entier yj. Partons d'une portion H' quelconque 
de H. Soit Ao un point de H intérieur à la sphère S qui détermine 
cette portion. Comme la suite fp^i (Ao), fpj^2{^o)i • • • a pour limite 
y(iVo), on peut déterminer un entier a supérieur à /*, tel que l'on ait 

l/a(Ao)-/(Ao)l<£. 



LES FONCTIONS DE n VARIABLES. tog 

La fonction y^ étant continue sur H. on peut déterminer une 
sphère -i de centre Aq, contenue dans -. et telle que 1 on ait, pour 
tout point A de la portion H| déterminée par S, dans H, 

i/a(:At-/a(Ao>,<s. 

Remplaçons S, par une sphère concentrique de ravon plus 
petit Do. Cette sphère -^ contient intérieurement un point de H, 
savoir Aoi soit Ho la portion de H contenue dans ^o. Dans cette 
portion, par hypothèse, Foscillation de f surpasse 2 a. Donc, on 
peut y trouver un point A|, tel que Ton ait 

|/(Au-/(Ao)!>X. 

Le point A,, contenu dans S2, est certainement inlérieur à S|. 
On peut trouver, dabord un nombre 3 supérieur à p, tel que l'on 
ait 

!/p(A,)-/(A,)|<E, 

puis, en utilisant la continuité de/"p, une sphère D3 de centre A|, 
contenue dans S, , et telle qu'en désignant par H3 la portion de H 
déterminée par S3, on ait pour tout point A de H3 : 

l/p(A)-/p(A.)I<s. 

Ces cinq inégalités sont vraies pour un point A quelconque 
de H3, puisque H3 est contenu dans H, ; on en déduit que, pour 
tout point A de H3, on a 

i/a(A)-/p(Aj|>.a, 

et, par suite, 

(I) 10 [/,,+,( A). /,,+,(A),...]>u. 

De là la conclusion suivante :/> étant un entier positif, toute por- 
tion H' de H contient une portion H3 dont tous les points satisfont 
à la condition (1). L'ensemble des points de H qui ne satisfont 
pas à (i) est donc non dense dans H. Quand p prend toutes les 
valeurs possibles, la réunion de tous ces ensembles constitue un 
ensemble de première catégorie. Il existe des points A de H 
ne faisant pas partie de cet ensemble, et par suite satisfaisant, quel 



CHAPITRE V. 



que soit/?, à l'inégalité (i), ce qui est contradictoire avec le fait 
que la suite /^ (A) a une limite finie. 

Donc, f est ponctuelleinent discontinue sur tout ensemble 
parfait. 

III. — • Conditions suffisantes. 

G9. Nous allons montrer que cette condition nécessaire est en 
même temps suffisante-. 11 convient pour cela d'étudier d'abord 
quelques questions préliminaires. 

Soit y une fonction supposée définie sur un ensemble parfait 
•quelconque P et bornée, c'est-à-dire ayant des limites supérieure 
et inférieure finies, M et m. Je dis que, si/* est limite de fonctions 
continues, il est possible de trouver une suite de fonctions con- 
tinues y, ,^2, ...,/vi ••• définies sur P, tendant vers f et qui 
soient toutes comprises entre M et m. 

Supposons d'abord que l'on connaisse une suite de fonctions 
continues Oi, cp^, ..., 'Jv^ ... tendant vers /", mais ne satisfaisant 
pas à la condition complémentaire. Voici comment nous définirons 
la fonction y,- qui remplacera œ,. En un point où l'on a /«^o^^M, 
je pose/", = 'j/. En un point où l'on a cs^-^M, je pose /*< = M; en 
un point où l'on a (Oi'^m, je pose c5/==: 7;^. 

On voit d'abord que, si Oi est continue, fi l'est aussi. Car, pour 
deux points quelconques A et A', on a toujours 

i/KA)-/,-(A')|S.lo,(A)-cp,(A')|. 

Donc, si A' varie et tend vers A, le second membre tend vers o, 
par suite aussi le premier. 

Vérifions que, quel que soit A,y(A) tend vers /'(A). 

En effet, trois cas sont possibles : 

i" Au point A, on a /?i ^/(A) < AI. Puisque ^/(A) tend 
vers /(A), à partir d'une certaine valeur de i, on a /7i<<c5/<; M. 
• Or, à partir de ce moment, on a posé f = es,-. Donc, dans ce cas, 
fi tend vers y (A). 

2° Supposons /( A) = M. Dans ce cas, à tout nombre positifs, 



LES FONCTIONS DE « VARIABLES. iH 

correspond un indice V, tel que, si />v. on a 
M-E<w(A)<M-£. 

On a, par suite, à partir du même indice, 

M-E</,(A)^M. 

Donc, fi tend vers M =/(A\ 

3° Siy"(A)=//i. la démonstration est analogue. Donc, dans 
tous les cas, fi tend vers f. 

70. Ceci posé, occupons-nous de quelques propriétés des séries 
uniformément convergentes. Soit une série dont les termes «/,, 
«2, ..., Un-) •-. sont des fonctions définies en tous les points d'un 
ensemble parfait P. Supposons cette série convergente en tout 
point de P. On dit que la série est uniformément convergente 
sur P si, quel que soit le nombre t positif et quel que soit 
l'entier h. il existe un nombre n, plus grand que h, tel que la 
valeur absolue du reste 

|«„^, — U„^i — ...\ 

est inférieure à t. pour tous les points de P ( ' ). 
Si nous posons 

f,= i/i — "ï — . . - —«V, 

et si /"est la somme de la série, nous dirons que f, tend uniformé- 
ment vers f On sait que, si les termes u de la série sont des 
fonctions continues, f esl aussi continue. En efl'et, soit A un point 
de P, £ un nombre positif donné; il y a un entier n tel que Ton a, 
pour tous les points de P, 

Nous pouvons déterminer, à cause de la continuité de /«, une 
sphère S de centre A telle que, pour tout point A' de P contenu 

dans Z, on a 

1/„(A')-/-„(A)1<£. 



(■) M. Dini, qui a introduit cette définition, un peu plus ijéncrale que la défini- 
tion courante, la distingue de cette dernière et l'Appelle condition de convergence 
uniforme simple. 



112 CHAPITRE V. 

On a d'ailleurs 



IA(A)-/(A)I<s, 
l/«(A')-/(A')|<s. 



D'où l'inégalité 



|/(A)-/(A')i<3£, 
qui exprime la continuité de y au point A. 

71. Nous allons montrer maintenant que, si les termes u d'une 
série uniformément convergente sont limites de fonctions 
continues, il en est de même de la somme f de la série. Nous 
ramènerons d'abord le cas général à un cas particulier. 

Soit la série uniformément convergente 

Posons 

Donnons-novis arbitrairement une suite décroissante de nombres 
positifs formant une série convergente ; soient a, , 7.0, . . ., a,,, . . . 
ces nombres. D'après nos hypothèses, on peut prendre p^ tel que 
l'on ait pour tout point de P : 1/ — f\ << ai, puis on peut 
prendre /;, >/?05 tel que l'on ait |./),,— /| <ao, et, d'une manière 
générale, />/>/:>/_i, tel que l'on ait |/^,^ — f\ < a^-^,. Posons 



On a 
Donc 



U/ 1 = 1/,,. -/,,_. 1 5 1/,,,. -/l -4- !/,,_. -/|. 



Or, chaque quantité U représente la somme d'un nomhve/ini de 
termes consécutifs de la série (i), et est par suite limite de fonc- 
tions continues, comme on le reconnaît aisément. 

Donc, par un certain groupement de termes consécutifs de la 
série donnée, on est parvenu à la remplacer par une série Uq, 
U,, . . ., U/, . . . dont les termes sont, à partir du second, infé- 
rieurs en valeur absolue à ceux de la série numérique conver- 
gente donnée à V avance : 

2 ai, aaa, .... 2 a,-, .... 



LES FONCTIONS DE rt VARIABLES. Il3 

72. Pour démontrer que la somme / de la série (i) est limite 
de fonctions continues, nous pouvons donc supposer que les termes 
de celte série sont respectivement inférieurs à ceux de la série 

numérique positive convergente «i, a-i^ .... a/, Xous aurons 

ainsi 

|«Ai^aA. 

Par hypothèse, il existe une suite de fonctions continues wa.o 
«A. 2- ..., Uh.p- •••■! ayant pour limite it/, et telles que Ton a, quel 



que soit y», 
et, par suite. 
Posons 



|«A.pI^aA, 

fi— Ui.i— Uî_i — ...—Ui 



fi est une fonction continue. Je dis quelle tend vers /. En effet, 
écrivons 

f—/i= («1— «1.1 1-5- ("i—«î.i)-^- -.-!-("/—«/./) — «1^1 — "/+»— 

Donnons-nous un nombre positif it. A cause de la convergence 
de la série des a, nous pouvons prendre un entier q. tel qu'on ait 

2(a^^i — a^^î — .. . 1 <E. 

q étant ainsi déterminé, supposons />> q, et séparons l'expression 
de y — y,- en deux parties, la première étant constituée par les q 
premiers termes. Posons 

(itl— UiJ) — {Uî— Uij) -i-. . .^ (Uç— Uçj ) = À, 

( "9-i-i — «7-^1 .1 ' -^ • • • — ( «i — "'.i ' — "i-i — «'-i-î — . • . = :^- 
On a 

Considérons d'abord u.. Les termes dont se compose u. sont res- 
pectivement moindres en valeur absolue que ceux de la série 

iaq-i-i— lUq-i-i-r- . . .-z- 10!-— Oi^i -r- Cti i 2 — . . < î- 

On a donc 

Considérons a. Pour un point A déterminé de l'ensemble P, 
quand i croît indéfiniment, a tend vers o, car c'est la somme 
R. B. 8 



I t4 CHAPITRE V. 

d'un iioml^re limité de différences qui tendent vers o. On. peut 
donc prendre i assez grand pour avoir | À [ << £. 

Donc, étant donné un point A de P, quand i dépasse une cer- 
taine valeur, on a 

|/(A)-/,(A)!<2E. 

Cela signifie que /}(A) a pour limite /(A), et cela quel que 
soit le point A de P. Donc, la fonction fi tend vers y, qui est 
ainsi limite de fonctions continues. 

Nous pouvons énoncer le théorème précédent sous la forme sui- 
vante : 

Si Uon a une suite de fonctions f\if>^ . . . , f, . . . qui soient 
limites de fonctions continues et qui tendent uniformément 
vers une fonction y, la fonction f est aussi limite de fonctions 
continues. 

En effet, si l'on pose 

"v =/v — .A-lî 

f est la somme d'une série uniformément convergente dont les 
termes sont limites de fonctions continues. 

Sous une autre forme, supposons qu'une fonction f possède la 
propriété suivante : Quel que soit le nombre s positif, il existe 
une fonction 'O limite de fonctions continues qui diffère de /' de 
moins de s. Dans ces conditions, je dis que /est limite de fonctions 
continues. En effet, il suffît de prendre une suite de nombres 
positifs tendant vers o, Sj, So, •••, e/;, ..., et de déterminer pour 
chaque nombre s^ de la suite vme fonction cp, limite de fonctions 
continues et différant de/ de moins de £/. Ces fonctions tendent 
uniformément vers/. Donc, /est limite de fonctions continues. 

Sous une forme très brève, on peut àwe (\n une fonction qui 
difj'ère de tnoins de t d' une fonction limite de fonctions conti- 
nues est elle-même limite de fonctions continues. 

73. Dans les méthodes que nous emploierons plus loin, nous 
utiliserons des fonctions continues analogues aux fonctions d'une 
variable étudiées précédemment (n" 59), et qui étaient constituées 
par la juxtaposition de fonctions linéaires. Supposons dabord qu'on 



LES FOXCTIONS DE fl VARIABLES. 113 

s'occupe de fonctions de n variables définies en lous les points 
de Gfl situés à dislance finie, p étant un entier positif donné, 
considérons tous les points de G„ dont les coordonnées sont de 

la forme — > a étant un entier quelconque. Soit S^, l'ensemble de 

ces points. Ces points sont les sommets d'un réseau cubique, 

chaque cube o du réseau étant l'ensemble des points 



< r:< 



11' — - %!> 

Pour définir la fonction que nous désignerons par y^,, nous nous 
donnerons d'abord la valeur de cette fonction en tous les points 
de Sp. Puis, pour achever sa définition en tous les points de G,/, 
nous l'assujettirons à être, dans chaque cube o, linéaire par rap- 
port à chacune des variables. La fonction sera ainsi bien déter- 
minée. 

Prenons pour exemple le cas de trois variables x. y. z. La 
fonction y^,, dans chaque cube, est de la forme 

Aj j-»-;; — A, r- — A.-j.r- — Aj j-v' — A3 j- -^ Aj v — A7 ^ — Ag. 

Les huit constantes sont parfaitement déterminées par ce fait 
que les valeurs àefp sont données aux huit sommets du cube. 

Nous distinguons en plusieurs sortes les points de G„. Par 
exemple, toujours dans le cas de /* = 3. nous distinguons les points 
de Sy, ou sommets des cubes o, les points situés sur les arêtes 
sans être les sommets, les points situés sur les faces sans être sur 
les arêtes, enfin, les points à l'intérieur des cubes. 

En un point de S^,, on se donne la valeur de la fonction fp. En 
un point A situé sur une arête, la valeur de f est déterminée 
par ses valeurs aux deux sommets de l'arête. En un point inté- 
rieur à une face, elle est déterminée par les valeurs aux quatre 
sommets de la face. En un point intérieur à un cube, elle est fixée 
par les valeurs aux huit sommets du cube. 

On reconnaît de même, dans le cas général, que la valeur, en 

un point A de coordonnées »r,, x-> x^, est déterminée par les 

valeurs de fp en tous les points de Sy, dont les ii coordonnées 

— • — ' . . -, — satisfont aux inég^alités 

a- ' I 

( I ) Xi ^ I < — • 

^ ' 11' \ J.P 

Remarquons enfin que la valeur de fp (A) est comprise entre 



Il6 CIIAPlTnE V. 

la plus grande et la plus petite des valeurs qui la déterminent. 
Nous dirons que les points de Sy, satisfaisant à la condition (i) sont 
les points associés d'ordre p à A. 
La condition (i) peut s'écrire 



' <Xi< 



■xi> -IP 

Donc, tout point associé à A est le centre d'un cube A auquel A 
est intérieur (voi/' n'' 61). 

Tout reviendra à définir la valeur àc/p en chaque point B de S^. 
Cette valeur sera définie d'après l'ensemble des valeurs de la fonc- 
tion donnée /"dans le cube A de centre B et de côté ; • 

Nous attacherons à chaque domaine A un certain nombre es (A), 
puis nous prendrons, en chaque point B de S^, //j(B) =: cp(A), 

A étant le domaine de centre B et de côté r- Puis, nous com- 

pléterons comme il a été dit la définition de fp en tous les points 
de l'espace G,;. Je dis que la suite de fonctions y,, /o, . . -t/p, . • • 
ainsi définie tendra vers /"si les nombres cp(A) satisfont à la condi- 
tion suivante : 

Condition (a). — Etant donnés un point quelconque A de G,, 
et un nombre positif z, on peut trouver une sphère S de centre A, 
telle que, pour tout domaine A contenu dans S et contenant A 
à son intérieur, on ait 

(«) I<ï>(A)-/(A)|<s. 

En effet, dès que p dépasse une certaine valeur ^, les do- 
maines A contenant A et de côté ; se trouvent contenus dans S. 

A partir de ce moment, si nous considérons les valeurs àe fp aux 
points associés d'ordre p à A, ces valeurs sont des nombres o(A) 
vérifiant la condition énoncée. Or, la valeur de y^( A) se trouve 
comprise entre les valeurs de fp aux points associés d'ordre [) 
à A. Donc, dès que/? est supérieur à q^ on a 

|/,.(A)-/(A)|<s. 
Donc on a 

lim/,,(A)=/(A). 

Dans ce qui précède, nous avons supposé que f était définie 



LES FONCTIONS DE n VARIABLES. 1 17 

en tous les points de G«. Supposons que f soit seulement définie 
aux points dun ensemble parfait quelconque P. Il suffira dans ce 
cas de définir des nombres 'f (A) relatifs à ceux des domaines A 
qui contiennent des points de P. La fonction fp sera définie 
comme précédemment, mais on ne la considérera qu'aux points 
de l'ensemble parfait P. Si les nombres 3 (A) satisfont à la condi- 
tion (a), la fonction fp tend versy en tout point de P. 

74. Occupons-nous maintenant de la détermination des nom- 
bres s (A). Soit ^ une fonction bornée définie sur un ensemble 
parfait P de G^, et ponctuellement discontinue sur tout ensemble 
parfait. Soit 7 un nombre positif. Je vais chercher à définir : 
1° une fonction F définie sur P et difierant de f de moins 
de 0-; '2? des nombres 3 (A) satisfaisant à la condition («) rela- 
tivement à la fonction F. 

Pour la symétrie des notations, désignons par Po 1 ensemble 

parfait P. Nous allons définir des ensembles Po, Pi Pa- ••'■, 

X étant un nombre quelconque des classes I ou II, de la manière 
suivante : 

i" Si a est de première espèce et >> o. P^ est l'ensemble des 
points de Pa_i, où l'on a 

D'après nos hypothèses, si Pa_i existe effectivement, P^ est non 
dense par rapport à lui, de sorte que Ton a 

Pa-i > ï'a. 

2° Si X est de deuxième espèce, Pa est l'ensemble des points 
communs à tous les ensembles P^- d'indice a' inférieur à a. 

On voit que les ensembles P^ sont fermés, satisfont aux condi- 
tions du n° 6!2. et en outre aux conditions des remarques I et III. 
Donc ces ensembles coïncident, à partir d'un certain rang p. avec 
un ensemble Pq, et, d'après la remarque I, on peut écrire 

P0=S(Pv~Py+,)-PO, 

Y prenant toutes les valeurs inférieures à ^. 

D'après la remarque III, Pq est parfait ou nul. Je dis que Pq 



Il8 CHAPITRE V. 

est nécessairement nul. Car, si Pq existait effectivement, l'égalité 

serait en contradiction avec le fait que l'on a P[3> P^+i. 
D'après cela, nous pouvons écrire 

Po=z(r\-iVi)- 

Tout point A de Po appartient à un ensemble bien déter- 
miné Py — Py+1- L'ensemble Py — Py+i peut se décomposer de la 
façon suivante : 

P,^_ P,+^ - (Py- PÇ"-) + (P?- Py+l) 

et l'on a 

p _ pQ _ V / pv _ pv+i\ 

1 y 1 ,^ ^ 1 I y 1 y j, 

V prenant toutes les valeurs des classes I et II et les termes de la 
somme étant tous distincts et non nuls, jusqu'à un certain rang, à 
partir duquel ils sont nuls. 

On reconnaît, en résumé, qu'un point A de Po fait partie, soit 
d'un ensemble P^ — P:j;+', soit d'un ensemble P^^ — Py+,, et cela 
d'une manière bien déterminée. 

Ceci posé, définissons F. En un point A qui fait partie d'un en- 
semble Py — Py'^'S je pose 

F(A)=/(A). 

En un point A qui fait partie d'un ensemble P^ — Py+n je pose 

F(A)=m(/,P,?,A). 
Je dis que, dans le second cas, on a certainement 

|/_F|<a. 

Car, au point A qui fait partie de P^ sans faire partie de Py+i, 

on a 

^-(/,P?>A)<a. 

Or, 0) = M — m avec m = F et m '^fl^ M. Donc 

|y_F|iM — m<a. 
Ainsi on a, en tout point, 

|/-F|<<7. 



LES FONCTIONS DE 11 VARIABLES. tig 

Définissons maintenant les nombres 'f(A). Soit A un domaine. 
Désignons par Qy^v l'ensemble des points de Py contenus dans le 
domaine A, v pouvant être égal à Çl. Les ensembles Q sont des 
ensembles fermés ordonnés comme les ensembles P correspondants. 
Considérons d'abord les ensembles Qy.o où " prend toutes les 
valeurs des classes I et II. Ces ensembles satisfont au théorème 
général du n" 62 et, en outre, aux conditions de la remarque II. 
Car les ensembles Qy^o sont nuls, quand •/ atteint certaines 
valeurs, puisque P!}. est nul pour y > 3. D'ailleurs, ces ensembles 
sont bornés. Donc, il existe un nombre h tel que, dans le 
domaine A, Qyj.o existe, tandis que Q/i+i,t) v est nul. 

h étant ainsi défini, considérons les ensembles Q>i.v, v étant 
variable. Tout d'abord, si Qa,û existe, posons  = Q. Si Qa,û 
n'existe pas, les ensembles Q/,,v se trouvent dans les conditions de 
la remarque II. Il existe donc alors un nombre k tel que Q/j * 
existe sans que Qa,a+j existe. 

L ensemble Qa,a étant ainsi défini dans tous les cas, je pose 

o(A) = /n(/, Q/,,;^.), 

et je dis que les nombres ç;(A) vérifient la condition {a). 

Il y a, pour un point A de P. deux cas possibles : i° A fait partie 
d'un ensemble P^ — P^+'. Alors A est un point isolé de P^. Pre- 
nons une sphère de centre A ne contenant aucun point de Py 
autre que A. Si A est un domaine contenant A et contenu dans 2, 
on voit que Qy^y existe et se compose de A, tandis que Qv.v+i 
n'existe pas. Donc, l'ensemble Q^^.a n'est autre que Qy.,. On a 

o(A)=/(A;=F(Aj. 

La condition (a) est donc vérifiée. 

2** A fait partie d'un ensemble P7 — Py+i. Nous avons posé 

F(A) = m(/, P^, A). 

Si l'on se donne un nombre positif s, on peut trouver une 
sphère S de centre A telle que, Il étant la portion de P^ contenue 
dans S, on ait 

"H/, n ) > m i^f, P^, A ) — £. 



120 CHAPITRE V. 



De plus, A ne faisant pas partie de Py+i, et cet ensemble étant 
fermé, on peut réduire le rayon de la sphère S, de façon qu'elle 
ne contienne aucun point de Py+i- Mais alors, si un domaine A est 
contenu dans S et contient A, Qy,Q existe et contient A, tandis 
que Qy+),o n'existe pas. D'après notre définition, on doit 
prendre Q^^;i=QyQ. On posera donc 

cp(A) = m(/,Qy,Q). 

Or, comme Qy,Q contient A et est contenu dans II, m (/, Qy,Q) 
est compris entre m (/, P^, A) et m(./, P^, A) — £, c'est-à-dire 
entre F (A) et F (A) — £. On a donc 

|cp(A)-F(A)l<s. 

La condition (a) est encore réalisée. 

Donc, F est limite de fonctions continues. Donc, f est aussi 
limite de fonctions continues, ce qui démontre c[ue la condition 
obtenue est suffisante. 



IV. — Extension aux fonctions non bornées. 

7o. Pour éviter des difficultés d'ordre secondaire, nous avons 
jusqu'ici fait la restriction que les fonctions que nous considérons 
sont bornées. 

INous allons lever cette restriction, et même considérer des fonc- 
tions pouvant recevoir des valeurs infinies, soit + co, soit — ce. 

Nous considérons par définition -f- oo comme un nombre su- 
périeur à tous les nombres finis^ — co comme un nombre infé- 
rieur à tous les nombres finis. Appelons R l'ensemble des nombres 
réels, R' l'ensemble R augmenté des nombres -h ^, — ^• 

Une suite «(, u^-, ..., ««, ... est dite avoir pour limite -t- oo 
si, quel que soit le nombre A, les quantités u sont, à partir d'un 
certain rang, supérieures à A. On a une définition analogue pour 
une suite tendant vers — oo. 

La définition générale de la limite, complétée par la convention 
précédente, peut s'énoncer ainsi : Une suite «<, Wo, ..., ««, ... a 
pour limite un nombre ^^o (les u,i et Uq appartenant àR'), si, quels 



LES FONCTIONS DE il VARIABLES. 121 

que soient les nombres ii! et li' tels que «'< cVo< «", il existe un 
entier p tel que, pour n >/>, Ton a «'< «„< lî' («). 

Etant donnée une fonction définie sur un ensemble parfait quel- 
conque, et ayant en chaque point une valeur déterminée appar- 
tenant à lensemble R', les notions de limites supérieures et de 
limites inférieures de la fonction pour toute portion de Tensemble, 
et par suite aussi en un de ses points, subsistent. Mais ces nombres 
peuvent être égaux à + x et à — oc. Pour la valeur de l'oscil- 
lation, considérée comme égale à la différence entre les limites 
supérieure et inférieure de la fonction, soit dans un intervalle, 
soit en un point, nous ferons les conventions suivantes : a étant 
un nombre fini quelconque, nous poserons : 

Si, avec ces conventions. Ion a en un point (0=0, nous con- 
viendrons de dire que la fonction est continue en ce point. Avec 
ces conventions, la distinction en fonctions ponctuellement dis- 
continues ou totalement discontinues sur un ensemble parfait a 
un sens parfaitement déterininé. 

Nous voyons qu'une fonction peut prendre en un point l'une 
des valeurs -j- ac ou — x, et être cependant continue partout. 
Néanmoins, nous réserverons le terme de fonction continue pro- 
prement dite à celles qui restent finies en chaque point et qui, 
par suite, sont, comme on sait, bornées dans tout ensemble 
borné. 

76. Cherchons à quelle condition une fonction discontinue 
quelconque peut être limite de fonctions continues finies. Nous 
allons montrer qu'on peut ramener le cas général à celui des fonc- 
tions bornées. 

Soit y une variable pouvant prendre toutes les valeurs de R'. 
Nous lui ferons correspondre une variable z définie comme il 



(') Il est iotéressant de remarquer un fait que met en évidence notre définition 
et qui est, je crois, assez peu connu. La notion de limite ne suppose pas néces- 
sairement donnée la définition des opérations sur les nombres irrationnels, mais 
seulement la définition de ces nombres en tant que formant avec les nombres ra- 
tionnels un ensemble ordonné. 



122 




CHAPITRE 


V. 






suit : 














Pour 


o=JK^ -H ^, 




z = 


y 


. 


l-f-jK 




Pour 


— GO^jlO, 




z = 


y 



y 

Dans le premier cas, z varie d'une façon continue et toujours en 
croissant de o à +i. Dans le second cas, toujours en croissant 
de — I à o. Désignons par R'^ et par R, respectivement les deux 
ensembles 

R', correspond à R', R, à R. 

On voit que la condition y' <iy" entraîne z'<i:^' et récipro- 
quement. Désignons par T la transformation qui remplace y par z 
et par T~' la transformation inverse de T qui remplace z par jk- 

Considérons une suite de nombres jKi, JK25 • • •? jK/o • • •; tendant 
vers jK,). Soient ^i, z.,, . • ., Zn, • • -, et ^q les transformés respectifs 
des y par T; je dis que l'on a 

Je prends deux nombres z' et z" satisfaisant à l'inégalité 

z <i. Z(,<^ z . 

Les transformés jk' ^^y" de z' et ;;" par T~' satisfont à 

y<.ro</'- 

Puisque y,/ tend vers jKo? il existe un entier/) tel que, pour n ^p, 
on a 

y'<yn<y"- 

On aura donc aussi, pour n^p 

, z'<Zn<z". 

Ceci exprime que z^ tend vers Zq. La proposition réciproque se 
démontre de même. 

Etant donnée une fonction / définie sur un ensemble parfait 
quelconque P, je suppose qu'à l'aide de T je transforme la valeur 
de f en chaque point de P. J'obtiens une certaine fonction cp. Je 
dirai que o est la transformée de f par X, ou que / est la trans- 



LES FONCTIONS DE « VAUIABLES. I2Î 

formée de es par T~*. f est quelconque, es est bornée et comprise 
entre — i et -H i . Je dis qu'à un point de continuité de /"cor- 
respond un point de continuité de z., et réciproquement. En effet, 
dire, par exemple, que f est continue en A, c'est dire qu'étant 
donnée une suite arbitraire de points A,, A., - . ., A„, . . ., tendant 
vers A, Ion a toujours 

Iim/(A„)=/(Aj. 

On en déduit pour les transformés par T 

lim ç( A„ ) = 9(A). 

Soit maintenant une suite de fonctions y*,, y^, , y^^, .... ten- 
dant vers une fonction f. Appliquons à toutes ces fonctions la 
t:-ansformation T. Nous les remplaçons par des fonctions nou- 
velles '^|. '-22- . • -j '-S/- , et î2. Je dis que '^v a pour limite es. Car, 

en chaque point A, l'égalité 

lim/,(A.=/(A) 

entraîne 

lim ^y( A )= s( A I. 

On démontre de même la propriété réciproque de la précé- 
dente pour les transformées par T~' de fonctions ç,, Ço, ..., cpv? •••» 
toutes comprises entre — i et -f- i et tendant vers une fonction '^. 

77. Ceci posé, je dis que, étant donnée une fonction f. elle est 
ou non limite de fonctions continues, en même temps que sa 
transformée par T, •.;. 

En effet : i" Si y", , f,, ..., f,^ ... sont continues, il en est 
de même de leurs transformées s,, sîo, .... Sv et. si les pre- 
mières tendent vers y, les secondes tendent vers ç;. Donc, si f est 
limite de fonctions continues, es 1 est également. 

2" Supposons o limite de fonctions continues, ç; étant compris 
entre — i et -f- i, on peut toujours supposer — i ^'fv= '• Multi- 
plions respectivement les fonctions '^,. cso. ..., '^vi •••• par des 
constantes a,, a^, .... a,, .... positives, inférieures à i et tendant 
vers I. Considérons les fonctions a, s,. aoSo, .... a.^Sv. .... Elles 
tendent vers es. De plus, les a,/.Sv satisfont aux conditions 



124 CHAPITUE V. 

de sorte que avCpv est certainement compris entre deux nombres 
intérieurs à l'intervalle ( — ^i, i). Donc la transformée de av'fv 
par T""', que j'appelle /v, est une fonction continue finie. Et 
comme avcpv tend vers o.f-., tend \ersf. 

D'autre ])art, sur un ensemble parfait quelconque, f et œ ont 
les mêmes points de continuité. Donc elles sont en même temps 
ponctuellement ou totalement discontinues. Or, la condition pour 
c|ue cp soit limite de fonctions continues est qu'elle soit ponctuelle- 
ment discontinue svir tout ensemble parfait. Il en résidte que cette 
condition est aussi valable pour f. Nous pouvons donc énoncer 
le théorème général suivant : 

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction 
quelconque finie ou infinie soit limite de fonctions continues, 
est qu'elle soit ponctuellement discontinue sur tout ensemble 
parfait. 

V. — Cas particuliers. 

78. Signalons, comme cas particulier, celui des fonctions semi- 
continues. Il est facile de montrer qu'une fonction semi-continue 
est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, en 
étendant la démonstration du n" 48, donnée pour le cas d'un 
ensemble linéaire continu. On en conclut cju'une telle fonction 
est limite de fonctions continues. 

Nous pouvons donner de ce fait une démonstration indépen- 
dante de la théorie générale. Nous allons choisir directement les 
nombres cp(A) considérés au n" 73. Supposons la fonction consi- 
dérée semi-continue supérieurement sur l'ensemble parfait P. Nous 
prendrons alors, dans chaque domaine A, ce (A) égal au maximum 
de y dans ce domaine. Je dis que la condition 

(a) lç(A)-/(Â)|<£ 

est vérifiée en chaque point A de P, s étant un nombre positif 
donné. En effet, d'après la définition de la semi-continuité supé- 
rieure, on peut trouver une sphère S de centre A telle que, pour 
tout point A' de P intérieur à S, l'on ait 

/(A';</(A) + s. 



LES FONCTIONS DE « VAniABLES. 123 

Dès que le domaine A contenant A sera contenu dans S, le 
nombre »(A) sera compris entre /(A) ety'(A)H- s. On aura donc 

/•(A)<ç(A></( A )-+-£. 

79. Voici un autre exemple de fonctions limites de fonctions 
continues. Considérons une fonction continue d'une variable F(x). 
Supposons que cette fonction ait une dérivée, ou même seulement 
une dérivée d'un seul côté, à droite par exemple. Ceci veut dire 

que le rapport 

F(.r ^- /i ) — F(.r) 
h 

a une limite déterminée, si h tend vers o par valeurs positives. 
Soit f{x) cette limite. Je dis que f{x) est une fonction limite de 
fonctions continues. (Nous n'excluons pas le cas où cette limite 
serait + ao ou — co.) Prenons une suite de nombres positifs ten- 
dant vers o : A,, /io. . . ., /i„ Posons 

Y ( X — h I, f — F ( .r I . , 

-, =fn{x). 

lin 

fn{^) est continue et tend vers f{x) quand n croît indéfiniment. 

80. On démontre qu'une fonction continue f, considérée dans 
un domaine borné, peut être approchée d'autant qu'on veut par un 
polynôme. Autrement dit, dans un domaine borné donné, il existe, 
quel que soit le nombre positif s, un polynôme P tel que Ion a 

l/-Pi<- 

Ceci posé, je dis que toute fonction limite de fonctions continues 
peut être considérée comme la limite dun polynôme, ou encore 
comme la somme d'une série de polynômes, le développement 
étant de plus valable pour Fespace G„ indéfini. En effet, consi- 
dérons une suite de domaines c,, c^ c„, ... dont chacun est 

contenu dans le suivant, et dont toutes les dimensions croissent 
indéfiniment. Tout point de G« finit par être compris dans un de 
ces domaines. Prenons une suite de nombres positifs s,. So, ..., 
E«, ... tendant vers o. Prenons une suite de polynômes P,. P^, . . ., 
P/, . . . tels que d'une façon générale l'on ait 

i/^(A)-P/(A,,<E, 



ia6 CIIAPITRIC V. 

en tout point du champ c,. Il est aisé de voir que la suite de po- 
lynômes P,, V-2: ••? l\n ••• tend vers f dans tout l'espace G„. 
Donc, il y a identité entre les séries de fonctions continues et les 
séries de polynômes. 

81. Dans les études qui précèdent, nous avons étudié une caté- 
gorie particulière de fonctions discontinues, qui sont les fonctions 
limites de fonctions continues. Convenons de dire que les fonc- 
tions continues forment la classe 0. Nous dirons que les fonctions 
limites de fonctions continues forment la classe 1. 

11 existe des fonctions qui sont limites de fonctions continues 
de classe 1, sans appartenir à cette classe. Par exemple, considé- 
rons, pour le cas d'une variable, une fonction y égale à i en tout 
point d'abscisse rationnelle, et à o en tout point d'abscisse irra- 
tionnelle. Elle n'est pas de classe 1. Mais elle est limite de fonc- 
tions de classe 1. Considérons, en eflet, la fonction f^ partout 
égale à o sauf aux points d'abscisse rationnelle dont l'abscisse a un 
dénominateur inférieur ou égal à v, points où elle sera égale à i. 
/^ a évidemment en chaque point pour limite y". Or, la fonction^v 
n'a qu'un nombre fini de points de discontinuité; donc elle est 
limite de fonctions continues. La fonction y peut être considérée 
comme la limite de fonctions de classe 1 et, par suite, comme la 
somme d'une série dont chaque terme serait une fonction de 
classe 1. Donc, enfin, il existe une série double de polynômes 
Sa^pl^ap(^)? convergente pour chaque valeur de x, et qui a la 
valeur o quand a; est irrationnel, et la valeur i quand x est rationnel. 

Nous conviendrons de dire que les fonctions limites de fonctions 
de classe 1 , qui ne font pas partie de celte classe, forment la classe 'È. 
Nous sommes ainsi amenés à la répartition théorique des fonctions 
en classes. En généralisant la définition précédente, nous aurons 
les fonctions de classes 3, 4, ...,/?,.. .. 

Nous pouvons même, d'une façon générale, définir les fonctions 
de classe a, a étant un nombre des classes I ou II. Par définition, 
une fonction/" sera considérée comme appartenant à la classe a, si 
elle est la limite d'une suite de fonctions y<,yo, ...,fy, ... dont 
chacune est limite de fonctions d'une classe marquée d'vin nombre 
inférieur à a, et si y n'appartient pas à l'une de ces classes. 

Soit E l'ensemble des fonctions appartenant à toutes les classes 



LES FONCTIONS DK 11 VARIABLES. 127 

marquées par les nombres des classes I et II. Je disque Y. contient 
toutes ses fonctions limites^ c'est-à-dire que si une suite de fonc- 
tions y,, /o, ...,y*v, ... a'pour limite/, et si toutes appartiennent 
à E. il en est de même de/". En effet, par hypothèse, les fonctions 

fi. fi f. ... appartiennent à certaines classes a,, a2. ..., 

ay, Nous savons qu'il existe un nombre a des classes I ou II, 

supérieur à tous ces nombres; donc f est de classe a ou de classe 
inférieure; donc /"fait partie de E. 

Il est intéressant de se demander s'il existe une propriété qui 
se conserve à la limite, c'est-à-dire telle que, /» , /o? • • ••: f^ ... la 
possédant, et ayant une limite /", f la possède également. Je me 
contente d'énoncer la proposition suivante : 

Soit une fonction/" définie sur un ensemble parfait P. S'il existe 
une fonction s définie sur P, de classe 1 et telle que les points où 
f est différente de es forment un ensemble de première catégorie 
dans P. cette propriété se conserve à la limite. On voit qu'elle 
appartient aux fonctions continues et aux fonctions de classe 1. 
Elle appartient donc à toutes les fonctions de l'ensemble E ('). 



(') Pour la démonstration, voir mon mémoire « Sur la représentation des 
fonctions continues » (pour paraître aux Acta mathematica) . 



FIN. 



TABLE DES MATIÈRES. 



Vagcs. 

Chapitre I. — Premières recherches sur les fonctions discontinues i 

I. — Exe?nples simples i 

II. — Théorèmes fondamentaux sur les fonctions limites de fonctions 

continues 6 

III. — Notions sur les ensembles de points et applications i3 

Chapitre II. — Les ensembles bien ordonnés et les nombres transfinis. 28 

I. — La notion d'ensemble bien ordonné 23 

II. — Comparaison des ensembles bien ordonnés 3i 

III. — Les ensembles bien ordonnés dénombrables 35 

IV. — Les nombres transfinis 4 ' 

Chapitre III. — Les ensembles linéaires 5o 

I. — Ensembles dérivés d'ordre quelconque 5o 

II. — Ensembles parfaits non denses 62 

III. — Étude générale des ensembles fermés 64 

Chapitre IV. — Les fonctions d'une variable 69 

I. — Définitions générales 69 

IL — Condition nécessaire pour qu'une fonction soit limite de fonc- 
tions continues 80 

III. — Extension des résultats au cas d'ensembles parfaits quelconques. 83 

IV. — Recherche de conditions suffisantes 90 

Chapitre V. — Les fonctions de n variables 99 

I. — Ensembles de points dans l'espace à n dimensions 99 

IL — Conditions nécessaires 106 

III. — Conditions suffisantes no 

IV. — Extension aux fonctions non bornées 120 

V. ^ Cas particuliers 124 



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University of California 

Berkeley 



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